Im elliptischen Koordinatensystem wird ein Punkt durch Angabe der Lage auf konfokalen Ellipsen und Hyperbeln bestimmt.

Bei 2-dimensionalen elliptischen Koordinaten lautet die Umrechnung in kartesische Koordinaten

u und v sind hier die Koordinaten, a ist ein Parameter des Koordinatensystems. v läuft von 0 bis 2?, u ist nicht beschränkt. Die u-Koordinatenlinien sind Hyperbeln, die v-Koordinatenlinien Ellipsen; für u=0 ist die v-Koordinatenlinie zu einer Strecke von bis entartet, für v=0 ist die u-Koordinatenlinie zu einer Halbgerade entartet, der positiven x-Achse ohne der vorher erwähnten Strecke entspricht, für v=? ist die u-Koordinatenlinie die entsprechende Halbgerade auf der negativen x-Achse und für v=?/2 und v=3?/2 ist die u-Koordinatenlinie die y-Achse.

Diese elliptischen Koordinaten können auf verschiedenen Art auf den 3-dimensionalen Raum erweitert werden. Bei zylindrischen elliptischen Koordinaten wird einfach die kartesische z - Koordinate als weitere Koordinate hinzugefügt. Bei polaren elliptischen Koordinaten wird die Ebene um einen Winkel ? gedreht, der dann die zusätzliche Koordinate bildet:

Schließlich gibt es noch räumlich elliptische Koordinaten:

Hier ist b ein weiterer Parameter des Koordinatensystems. Die ?-Koordinatenlinien sind hier Ellipsen.

Anwendungen

Durch die Transformation auf elliptische Koordinaten kann die Schrödinger-Gleichung für das H₂⁺ - Molekül analytisch gelöst werden.