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Ellipsoid

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Ellipsoid

Ein Ellipsoid ist ein höherdimensionales Analogon einer Ellipse.

Definition

Die Gleichung einer dreidimensionalen Ellipse im Kartesischen Koordinatensystem ist

${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1$

mit positiven reellen Zahlen a, b and c, den Längen der Halbachsen. Ein Ellipsoid ist die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung (quadratischen Form) mit positiv definiter symmetrischer reeller Matrix $Q = (q i j)$ :

$E= \left\{ x= (x_1\ldots x_n)\in R^n : x^T Q x = \sum_{1\le i,j\le n\ }q_{ij}x_i x_j = 1 \right\}.$

Durch Hauptachsentransformation kann man Q auf eine Diagonalmatrix mit positiven Eigenwerten transformieren.

In der Linearen Optimierung werden Ellipsoide in der Ellipsoid-Methode verwendet.

Für das Volumen V gilt: $V = \frac{4}{3} \pi \cdot a\cdot b\cdot c$ wobei wie oben a,b,c die Radien in der Breite, Höhe und Tiefe bezeichnen.

Dreidimensionale Ellipsoide erhält man zum Beispiel durch Rotation einer Ellipse um eine ihrer Achsen, wobei man von Rotationsellipsoiden spricht. Dabei sind zwei der Achsen gleich lang. Beispiele für Rotationsellipsoide sind rotierende Himmelskörper.

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