Ein Element in der Mathematik ist immer im Rahmen der Mengenlehre zu verstehen. Die grundlegende Relation, wenn x ein Element und M eine Menge sind, lautet:

x ist Element von M

oder mit mathematischen Symbolen

.

Ein Element bezeichnet also genau ein Objekt aus einer Menge.

Die Mengendefinition von Georg Cantor beschreibt anschaulich, was unter einem Element im Zusammenhang mit einer Menge zu verstehen ist:

Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unsere Anschauung oder unseres Denkes zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente der Menge.

Diese anschauliche (oder naive) Mengenauffassung erwies sich als nicht widerspruchsfrei. Heute wird eine axiomatische Mengenlehre (die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) benutzt.

Beispiele

Einfache Beispiele

Beispiele von Elementen lassen sich offensichtlich nur mit Bezug auf die sie enthaltende Menge angeben. In der Mathematik bieten Zahlenmengen geeignete Beispiele:

 

5 ist ein Element der natürlichen Zahlen

 

3/4 ist ein Element der rationalen Zahlen

: die Quadratwurzel aus 2 ist ein Element der reellen Zahlen

Spezielle Beispiele

In einigen Teildisziplinen der Mathematik treten bestimmte Typen von Elementen immer wieder auf. Diese speziellen Elemente haben dann feste Namen.

In der Gruppentheorie treten spezielle Mengen auf, deren Elemente miteinander verknüpft werden. Bei einer solchen Verknüpfung entsteht dann wieder ein Element der Menge. Es muss aus Gründen der Definition einer Gruppe immer ein spezielles Element geben, das bei Verknüpfung mit einem beliebigen anderen Element jenes nicht verändert. Dieses spezielle Element wird als neutrales Element bezeichnet.

Daneben muss aufgrund der Definition der Gruppe auch zu jedem Element der Gruppe ein Gegenstück existieren, welches unter Verknüpfung gerade das neutrale Element ergibt. Dieses Gegenstück wird als inverses Element (zu einem gegebenen Element) bezeichnet.

Innerhalb der ganzen Zahlen ist die Null ein neutrales Element bezüglich der Addition. Wenn man zu einer beliebigen Zahl x die Null addiert, erhält man wiederum x:

Und entsprechend ist zu einer ganzen Zahl x die Zahl -x das inverse Element:

Innerhalb der reellen Zahlen ist die Zahl 1 das neutrale Element bezüglich der Multiplikation. Wenn man eine beliebige reelle Zahl x mit der 1 multipliziert, erhält man wiederum x:

Entsprechend ist zu einer reellen Zahl x der Kehrwert 1/x das inverse Element der Multiplikation:

Kompliziertere Beispiele

Das Konzept des Elementes und der Menge kann auch komplizierter sein. Etwa kann eine Menge T Elemente enthalten, die selbst Mengen sind. Man kann durchaus die Menge T als eine Menge definieren, die die schon genannten Mengen (N natürliche Zahlen, Q rationale Zahlen und R reelle Zahlen) als ihre drei Elemente enthält. Dann wäre die Aussage

 

Die Menge der natürlichen Zahlen ist ein Element der Menge T.