Die Begriffe Eigenwert und Eigenvektor treten immer gemeinsam in der Linearen Algebra auf. Die im folgenden beschriebene mathematische Problemstellung nennt sich spezielles Eigenwertproblem.

Eigenvektoren eines linearen Operators (etwa durch eine Matrix dargestellt) sind Vektoren, auf welche die Anwendung des Operators (etwa die Multiplikation mit der Matrix) ein skalares Vielfaches ihrer selbst ergeben. Obwohl der Nullvektor diese Eigenschaft für jeden Skalar erfüllt, wird er nicht als Eigenvektor bezeichnet. Den entsprechenden Skalar nennt man Eigenwert.

Ist A eine (n, n)-Matrix, so heißt ein Eigenvektor der Dimension n zum Eigenwert ?, wenn gilt:

Berechnung der Eigenwerte

Die Eigenwerte lassen sich durch Lösung folgender Gleichung bestimmen, wobei det(M) die Determinante einer (n,n)-Matrix M und E die (n,n)-Einheitsmatrix bezeichnet:

Die Auflösung der Determinante liefert ein Polynom n-ten Grades in ?, das charakteristische Polynom (Siehe dort zur Herleitung). Dessen Auflösung liefert die n Eigenwerte ?₁, ..., ?_n.

?_n?ⁿ + ?_{n - 1}?^{n - 1} + ... + ?₁? + ?₀ = 0

Gleiche Eigenwerte fasst man zusammen, so dass sich k (? n) Eigenwerte ?₁, ..., ?_k mit ihren Vielfachheiten v_i ergeben.(Bsp: ?₁ = 1, ?₂ = 1, ?₃ = 2 dann besteht eine Vielfachheit für ?₁ von 2 und ?₂ von 1)

Kennt man die Eigenwerte und ihre Vielfachheiten, kann man die Jordansche Normalform der Matrix erstellen.

Eigenwerte können auch komplex sein.

Zahlenbeispiel

Berechnung der Eigenvektoren

Für einen Eigenwert ? lassen sich die Eigenvektoren aus der Gleichung

bestimmen. Die Eigenvektoren spannen einen Raum auf, dessen Dimension mit geometrischer Vielfachheit des Eigenwertes bezeichnet wird. Für einen Eigenwert ? der geometrischen Vielfachheit v lassen sich also Eigenvektoren e₁, ..., e_v finden, so dass die Menge aller Eigenvektoren zu ? gleich der Menge der Linearkombinationen von e₁, ..., e_v ist. e₁, ..., e_v heißt dann Basis von Eigenvektoren zum Eigenwert ?.

Die geometrische Vielfachheit ist immer kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit.

Praktische Beispiele

Durch Lösung eines Eigenwertproblems berechnet man

• Eigenfrequenzen, Eigenformen und ggf. auch Dämpfungscharakteristik eines schwingfähigen Systems,
• Knicklast eines Knickstabs,
• Beulversagen eines leeren Rohres unter Außendruck,
• Hauptspannungen in der Festigkeitslehre: Umrechnung der Spannungen in ein Kordinatensystem, in dem es keine Schubspannungen gibt,
• Hauptträgheitsachsen eines unsymmetrischen Querschnitts, um einen Balken (Träger o.dgl.) in diesen beiden Richtungen unabhängig voneinander zu berechnen,
• vielfältige andere technische Problemstellungen, die mit der jeweils anders definierten Stabilität eines Systems zu tun haben.

Insbesondere an deutschen Hochschulen kursiert die Anekdote, das englische eigenvector wurde auf Grund der Annahme aus dem Deutschen übernommen, dass der Eigenvektor nach Manfred Eigen benannt wurde. Dies ist aber offensichtlich falsch, da Eigen beim ersten Auftauchen des Begriffes im Englischen noch nicht sehr bekannt war und sich auch in keiner Weise um den Eigenvektor verdient gemacht hat.