Das Dualsystem (lat. dualis = zwei enthaltend), auch Binärsystem oder Zweiersystem genannt, ist das bekannteste und verbreitetste Zahlensystem, welches zwei Ziffern zur Darstellung von Zahlen benutzt. Der Begriff bezeichnet das Stellenwertsystem mit der Basis 2, also die dyadische (2-adische) Darstellung von Zahlen (Dyadik). Die zwei Ziffern des Dualsystems mit den Werten Null und Eins werden oft mit den Symbolen 0 und 1 dargestellt. In älterer Literatur mit Bezug auf elektronische Datenverarbeitung werden manchmal die Symbole Low (L) und High (H) verwendet. Hierbei steht dann meistens Low für den Wert Null und High für den Wert Eins. Diese Zuordnung nennt sich positive Logik, bei negativer Logik werden die Werte andersherum zugeordnet.

Die Zahlen, die durch das Dualsystem dargestellt werden, heißen Dualzahlen oder Binärzahlen, wobei letzteres auch einfach für binärcodierte Zahlen stehen kann. Die Darstellungsweise einer Zahl ist durch den Begriff Binärzahl, bis auf die Anzahl der verwendeten Ziffernsymbole (zwei), also nicht näher spezifiziert.

Definition

Der Wert der Dualzahl Z, dargestellt durch die Ziffern b_i=[b_-n,b_m], ergibt sich durch Addition aller Ziffern, die jeweils mit ihrem Stellenwert 2ⁱ multipliziert werden:

Darstellung von Dualzahlen

Die Darstellung der Zahlen erfolgt ähnlich wie die Darstellung im gewöhnlich verwendeten Dezimalsystem, mit dem Unterschied, dass die Wertigkeit der Ziffern nicht durch die entsprechende Zehnerpotenz, sondern durch die passende Zweierpotenz bestimmt wird. Es wird also, wie bei der Definition gezeigt, die höchstwertigste Stelle mit dem Wert b_m ganz links und die niederwertigeren Stellen mit den Werten b_m-1 bis b₀ in absteigender Reihenfolge rechts davon ohne Trennzeichen aufgeschrieben. Zur Darstellung von rationalen oder reellen Zahlen folgen dann nach einem trennenden Komma die Stellen b_-1 bis b_-n, die den gebrochenen Anteil der Zahl darstellen.

Beispielsweise stellt die Ziffernfolge 1101 nicht (wie im Dezimalsystem) die Tausendeinhundertundeins dar, sondern die Dreizehn, denn im Dualsystem berechnet sich der Wert durch:

und nicht wie im Dezimalsystem durch:

Die Klammerung der Resultate mit der tiefgestellten 10 soll darauf hinweisen, dass die Resultate im gebräuchlichen Dezimalsystem dargestellt sind. Eine ausführliche und verallgemeinerte Erläuterung findet sich im Artikel Stellenwertsystem.

Anwendung

Die Dyadik also die Darstellung von Zahlen im Dualsystem wurde schon Ende des 17. Jahrhunderts von Leibniz entwickelt. Er sah darin ein so überzeugendes Sinnbild des christlichen Glaubens, dass er damit den Chinesischen Kaiser überzeugen wollte und schrieb an den französischen Jesuitenpater Bouvet, der als Missionar in China tätig war:

"Zu Beginn des ersten Tages war die 1, das heißt Gott. Zu Beginn des zweiten Tages die 2, denn Himmel und Erde wurden während des ersten geschaffen. Schließlich zu Beginn des siebenten Tages war schon alles da; deshalb ist der letzte Tag der vollkommenste und der Sabbat, denn an ihm ist alles geschaffen und erfüllt, und deshalb schreibt sich die 7 111, also ohne Null. Und nur wenn man die Zahlen bloß mit 0 und 1 schreibt, erkennt man die Vollkommenheit des siebenten Tages, der als heilig gilt, und von dem noch bemerkenswert ist, daß seine Charaktere einen Bezug zur Dreifaltigkeit haben."

Da die feinmechanischen Fertigkeiten der damaligen Zeiten nicht ausreichten, musste Leibniz beim Bau seiner Rechenmaschinen auf das Dezimalsystem zurückgreifen.

Bei der späteren Entwicklung von elektronischen Rechenmaschinen erlangte das Dualsystem allerdings große Bedeutung, denn in der Digitaltechnik werden Zahlen durch elektrische Zustände dargestellt. Bevorzugt werden zwei komplementäre Zustände wie Strom an/Strom aus oder Spannung/Masse verwendet, da auf diese Weise sehr fehlerresistente und einfache Schaltungen zu realisieren sind (siehe Binärcode). Diese zwei Zustände lassen sich dann als Ziffern benutzen. Das Dualsystem ist die unkomplizierteste Methode mit Zahlen, die durch diese zwei Ziffern dargestellt werden, zu rechnen.

Dualzahlen finden in der elektronischen Datenverarbeitung bei der Darstellung von Festpunktzahlen oder ganzen Zahlen Verwendung. Negativen Zahlen werden vor allem als 2-Komplement dargestellt, welches nur im positiven Bereich der Dualzahlendarstellung entspricht. Um näherungsweise rationale oder gar reelle Zahlen darzustellen, wird eher eine Fließpunktdarstellung verwendet, bei der die Zahl normalisiert und in Mantisse und Exponent aufgeteilt wird. Diese beiden Werte werden dann als Dualzahlen gespeichert.

Grundrechenarten im Dualsystem

Ganz analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Dualzahlen die gängigen arithmetischen Grundoperation Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen. Tatsächlich werden die benötigten Algorithmen sogar einfacher und lassen sich effizient mit logischen Schaltungen elektronisch realisieren. Die Einführung von Dualzahlen in die Rechentechnik brachte daher eine ganze Reihe Vorteile.

Addition Beispiel 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10	Substraktion Beispiel 0 - 0 = 0 0 - 1 = -1 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0
Multiplikation Beispiel 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1	Division Beispiel 0 : 0 = n.def. 0 : 1 = 0 1 : 0 = n.def. 1 : 1 = 1

Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme

Durch die kleine Basis ergibt sich der Nachteil, dass Zahlen im Verhältnis zu Dezimalzahlen relativ lang und schwer zu überschauen sind (siehe Tabelle unten). Dies hat zur Verbreitung des Hexadezimalsystems geführt, welches die Basis 16 besitzt. Da 16 eine Potenz von 2 ist, ist es besonders einfach möglich, Dualzahlen in Hexadezimalzahlen umzurechnen. Dazu werden je vier Stellen der Dualzahl durch eine Hexadezimalstelle ersetzt, was auch die Länge der dargestellten Zahlen um den Faktor vier verringert. Die Hexadezimalziffern mit dem Wert 0-15 werden in der Regel durch die Ziffernsymbole 0-9 und die Großbuchstaben A-F (für die Werte 10-15) dargestellt. Dadurch sind sie verhältnismäßig gut lesbar, so lässt sich zum Beispiel leicht feststellen, dass EDA5₍₁₆₎ größer ist als ED7A₍₁₆₎ wo hingegen das bei den entsprechenden Dualzahlen 1110110110100101₍₂₎ und 1110110101111010₍₂₎ eher nicht mehr der Fall ist.

vom Dualsystem ins Dezimalsystem

Um aus einer Dualzahl eine Dezimalzahl zu ermitteln, werden die Zweierpotenzen addiert, bei denen in der Dualzahl die Ziffer 1 steht.

Beispiel: 1010₍₂₎

Es wird von rechts nach links gerechnet:

0 · 20 = 0

1 · 21 = 2

0 · 22 = 0

1 · 23 = 8

Die Summe der Produkte ergibt 10₍₁₀₎.

Die Produkte, die durch eine Null als Stelle zustandegekommen sind, hätten nicht errechnet werden müssen, können aber zur besseren Übersicht notiert werden.

vom Dezimalsystem ins Dualsystem

Es gibt mehrere Möglichkeiten der Umrechnung ins Dualsystem. Im Folgenden ist die Divisionsmethode am Beispiel 41₍₁₀₎ beschrieben:

41 : 2 = 20 Rest 1

20 : 2 = 10 Rest 0

10 : 2 =  5 Rest 0

 5 : 2 =  2 Rest 1

 2 : 2 =  1 Rest 0

 1 : 2 =  0 Rest 1

Die entsprechende Dualzahl erhält man, indem man die errechneten Reste von unten nach oben liest: 101001₍₂₎.

Siehe auch

Zahlensystem, Stellenwertsystem, Oktalsystem, Dezimalsystem, Hexadezimalsystem, Basiswechsel

Weblinks

• Polyadische Zahlensysteme (http://www.htw-dresden.de/~htw8943/belege/grundlinf/zahlsys.html)
• Leibniz und die Dyadik (http://www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za146/barock/leibniz1.htm#Dyadik)
• binaersystem.homeunix.org, eine Themenseite speziell über das Dualsystem (http://binaersystem.homeunix.org)
• In Java geschriebener Umrechner vom Dual- ins Dezimalsystem (http://stud4.tuwien.ac.at/~e0125012/binarycalculator.htm)