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Dreiecksmatrix

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Dreiecksmatrix

Unter einer Dreiecksmatrix versteht man eine spezielle quadratische Matrix. Hierbei unterscheidet man zwischen einer oberen Dreiecksmatrix und einer unteren Dreiecksmatrix. Sowohl die obere Dreiecksmatrix als auch die untere Dreiecksmatrix können noch in eine strikte und eine nicht strikte Version unterteilt werden.

Inhaltsverzeichnis

1 Obere Dreiecksmatrix

1.1 Definition
1.2 Beispiele

2 Strikte obere Dreiecksmatrix

2.1 Definition
2.2 Beispiele

3 Untere Dreiecksmatrix

3.1 Definition
3.2 Beispiele

4 Strikte untere Dreiecksmatrix

4.1 Definition
4.2 Beispiele

Obere Dreiecksmatrix

Definition

Bei einer oberen Dreiecksmatrix sind alle Einträge unterhalb der Diagonalen der Matrix 0. Für die Einträge auf der Diagonalen selbst gibt es keine Beschränkungen.

Für eine obere Dreiecksmatrix gilt somit:

$a_{ij} = 0 \Leftrightarrow i > j$

Beispiele

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 12 & 21 & 14 \\ 0 & 13 & 23 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$

Strikte obere Dreiecksmatrix

Definition

Bei einer strikten oberen Dreiecksmatrix sind alle Einträge unterhalb der Diagonalen der Matrix 0. Die Einträge auf der Diagonalen müssen hierbei alle 1 sein.

Für eine strikte obere Dreiecksmatrix gilt somit:

$a_{ij} = 0 \Leftrightarrow i > j$
$a_{ij} = 1 \Leftrightarrow i = j$

Beispiele

$\begin{pmatrix} 1 & a_{12} & a_{13} \\ 0 & 1 & a_{23} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 21 & 14 \\ 0 & 1 & 23 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Untere Dreiecksmatrix

Definition

Bei einer unteren Dreiecksmatrix sind alle Einträge oberhalb der Diagonalen der Matrix 0. Für die Einträge auf der Diagonalen selbst gibt es keine Beschränkungen.

Für eine untere Dreiecksmatrix gilt somit:

$a_{ij} = 0 \Leftrightarrow i < j$

Beispiele

$\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{23} & a_{33} \\ \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 33 & 0 & 0 \\ 12 & 54 & 0 \\ 13 & 23 & 0 \\ \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 0 \\ 9 & 7 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

Strikte untere Dreiecksmatrix

Definition

Bei einer strikten unteren Dreiecksmatrix sind alle Einträge oberhalb der Diagonalen der Matrix 0. Die Einträge auf der Diagonalen müssen hierbei alle 1 sein.

Für eine strikte untere Dreiecksmatrix gilt somit: