Die Division ist die schwierigste der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehrung der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet.

Division in der Arithmetik

Im Bereich der rationalen, reellen und komplexen Zahlen gilt:
Für jede Zahl a und von Null verschiedene Zahl b gibt es genau eine Zahl x, die die Gleichung

b · x = a (lies: b mal x gleich a)

erfüllt.

Die Bestimmung von x heißt Division. x lässt sich bestimmen, indem man a durch b dividiert ("teilt"):

x = a : b

Die auftretenden Terme heißen wie folgt:

Die Zahl, die geteilt wird (a), heißt Dividend.

Die Zahl, durch die geteilt wird (b), heißt Divisor.

Das Ergebnis der Division heißt Quotient.

Der Divisor muss unbedingt ungleich 0 sein, da die Gleichung 0 · x = a nur für a = 0 lösbar ist, und dann mehr als eine Lösung hat. Für ein anderes a existiert keine Lösung x (egal wie x gewählt wird, man erhält immer 0 · x = 0). Daher sagt man, die Division durch 0 ist unzulässig. (Siehe dazu auch den Artikel Null (Zahl).)

Siehe auch: Kehrwert

Schreibweisen

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division:

a : b

a ÷ b

a / b

Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646 - 1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist.

Null dividiert durch null

Angenommen man könnte Null durch Null teilen, was wäre dann? Es würde zwei Gesetzesmäßigkeiten geben, die für diesen Fall zutreffen würden:

• mit n=0 und abgewandelt davon mit n=0

und

• das sich aus 0 * n = 0 ableiten lässt.

Das führt dazu, dass als Ergebnis der Division von null durch null jede denkbare Zahl (selbst aus dem Bereich der komplexen Zahlen) als Ergebnis herauskommen würde. Wenn dies zugelassen werden würde, wäre die Mathematik absurd.

Verallgemeinerung

In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors.

In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten.

Siehe auch: Gruppe, Ring, Schiefkörper, Divisionsalgebra, Portal Mathematik, Mathematik für die Schule