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Divergenz (Mathematik)

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Divergenz (Mathematik)

Die Divergenz bezeichnet in der Mathematik zwei verschiedene Dinge:

Eine Eigenschaft von Folgen, nämlich das Gegenteil von Konvergenz (sieht dort)
Eine Funktion der mehrdimensionalen Analysis und der Vektoranalysis (dieser Artikel)

Die Divergenz ist eine Funktion eines Vektorfeldes. Interpretiert man dieses Feld als Strömungsfeld, so gibt die Divergenz für jede Stelle seine Tendenz an, zu diesem Punkt hin- bzw. wegzufließen. Es sagt damit aus, ob und wo das Vektorfeld Quellen (Divergenz größer Null) oder Senken (Divergenz kleiner Null) hat.

Betrachte zum Beispiel eine ruhige Wasseroberfläche, auf die ein dünner Strahl Öl trifft. Die Bewegung des Öls auf der Oberfläche kann durch ein zweidimensionales (zeitabhängiges) Vektorfeld beschrieben werden, d.h. zu jedem Zeitpunkt ist die Fließgeschwindigkeit (und -richtung) des Ölfilms in jedem Punkt angegeben. Die Stelle, an der der Strahl auf die Wasseroberfläche trifft, ist eine "Ölquelle", da von dort Öl wegfließt, ohne hinzufließen. Die Divergenz in der Nähe dieser Stelle ist positiv.

Der Divergenzsatz besagt nun, dass der Durchfluss z.B. durch einen Kreis um die "Quelle" gleich dem Integral über die Divergenz des Vektorfeldes in diesem Kreis ist.

Die Divergenz lässt sich formal als Ableitungsoperator interpretieren, und gehört zusammen mit den anderen Ableitungsoperatoren Gradient und Rotation der Vektoranalysis an, einem Untergebiet der mehrdimensionalen Analysis.

Formale Definition

Die Divergenz eines Vektorfeldes $\vec F(\vec r)$ ist ein skalares Feld. Es wird als $\nabla\cdot\vec F$ oder als $\operatorname{div}\vec F$ geschrieben. Dabei bezeichnet $\nabla$ den Nabla-Operator und div das Funktionssymbol der Divergenz. Für den Fall eines dreidimensionales Vektorfeld $\vec F(x,y,z)$ ist die Divergenz in kartesischen Koordinaten definiert als

$\operatorname{div}\vec F=\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y}+ \frac{\partial F_z}{\partial z}= \nabla\cdot\vec F$

Die Divergenz lässt sich formal als Skalarprodukt zwischen $\nabla$ und $\vec F$ interpretieren, d. h. als die Summe der komponentenweisen "Produkte".

Allgemein gilt für ein n-dimensionales Vektorfeld F = (F₁, ..., F_n), das jedem Punkt eines n-dimensionalen Raumes einen n-Vektor zuordnet

$\operatorname{div}\vec F = \nabla\cdot\vec F = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F_{i}}{\partial x_i}$

Rechenregeln

$\forall$ c: Konstante und für $\vec{F}$ und $\vec{G}$ : Vektorfelder

$\operatorname{div}\,\vec{c} = 0$
$\operatorname{div}\,c\cdot\vec{F} =c\cdot\operatorname{div}\,\vec{F}$
$\operatorname{div}\,(\vec{F}+\vec{G}) =\operatorname{div}\,\vec{F}+\operatorname{div}\,\vec{G}$
$\operatorname{div}\,(u\cdot\vec{F}) =\operatorname{grad}\,u\cdot\vec{F}+u\cdot\operatorname{div}\,\vec{F}$
$\operatorname{div}(\vec{F}\times\vec{G}) = \vec{G}\,\operatorname{rot}\,\vec{F} - \vec{F}\,\operatorname{rot}\,\vec{G}$

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