Eine Differenzengleichung (DzGl), allgemein auch als Rekursionsgleichung bezeichnet, beschreibt im ingenieurwissenschaftlichen Sinne eine Rechenvorschrift zur Berechnung einer Ausgangsfolge respektive Ausgangssignal. Im Sinne der Zeitreihenanalyse lässt sich eine Differenzengleichung auch allgemeiner als Gleichung, mit der sich die Werte einer Zeitreihe berechnen lassen, die rekursiv zusammenhängen, definieren.

Herkunft und Anwendung

Nach der Diskretisierung eines kontinuierlichen Signals kann aus der Folge keine Ableitung mehr berechnet werden, man muss sich hier des Differenzenquotienten bedienen. Sie ist im Grunde das zeitdiskrete Pendent zur Differentialgleichung und findet ihre Anwendung vor allem in der digitalen Signalverarbeitung (z.B. im Zusammenhang mit dem Entwurf von Filtern).

Anwendungsbeispiele aus der Zeitreihenanalyse sind die Tilgungsrate eines Annuitäten-Kredits (deterministischer Zusammenhang) oder der Bestand an Arbeitslosen (stochastischer Zusammenhang).

Theorie

Eine DzGl kann zum Beispiel folgendermaßen aussehen:

Diese DzGl beschreibt also, wie die Folge zum Zeitpunkt n berechnet werden muss.

Rechenregeln

Für lineare DzGlen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten gelten im allgemeinen die gleichen (oder sehr ähnliche) Regeln wie bei normalen DGLen. Insbesondere:

• Die Summe aus zwei homogenen Lösungen ist wieder eine Lösung der DzGl (Linearkombination).
• Die Summe aus einer homogenen Lösung und einer partikulären Lösung ist eine allgemeine Lösung der inhomogenen DzGl.

Somit kann also die Lösung prinzipiell immer noch genauso errechnet werden wie bei DGLen.

homogene Lösung

Als Ansatz wird benutzt.

Mit diesem Ansatz kommt man von der homogenen DzGl

auf die charakteristische Gleichung

Die verschiedenen Wurzeln der Gleichung ergeben dann die linear unabhängigen Lösungsfolgen und damit eine homogene Lösung.

Zum Beispiel:

partikuläre Lösung

Die Bestimmung geschieht hier analog zu DGlen.

Störfunktion u(n)	Ansatz partikuläre Lösung
Konstante	Konstante
Polynom	Polynom gleichen Grades
un

Zusammenhang Differenzengleichung und z-Transformation

Die z-Transformation nimmt die gleiche Stellung für zeitdiskrete Signale (Folgen), wie die Laplacetransformation für den kontinuierlichen Zeitbereich.

Vom z-Bildbereich zum Zeitdiskreten

Vom Zeitdiskreten in den z-Bildbereich

Es gibt hier viele Möglichkeiten: Durch Tabellen, Taylorreihenentwicklung, nichtabbrechende Division u.a.

mit Hilfe der Übertragungsfunktion

Ausdrücke in z können sehr einfach mit Hilfe einer Übertragungsfunktion der Variablen und eines Stosses (im Diskreten) in eine Differenzengleichung übersetzt werden. Ein Beispiel dazu:

sei , und weiter als zwei einzelne Funktionen für a(z) und 1 :

Wird nun ausgeklammert: , ist schön zu erkennen, dass die Variablen a und "1" direkt mit rückübersetzt werden können:

Anmerkung: Der Deltastoss ?(x) hat immer den Wert 0, außer bei k=0. Dort geht er gegen unendlich. Formal beschrieben wird er über die Gleichung . Die rechte Seite tritt hier also als Teil der Anfangsbedingungen auf.