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De Morgansche Gesetze

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De Morgansche Gesetze

Die De Morganschen Gesetze sind zwei wichtige Regeln der Logik und der Mengenlehre. Sie sind benannt nach dem Mathematiker Augustus De Morgan, der im 19. Jahrhundert lebte, und gelten in allen Booleschen Algebren.

Sie lauten in der Logik:

nicht (a und b) = (nicht a) oder (nicht b)

nicht (a oder b) = (nicht a) und (nicht b)

Ihre Entsprechung in der Mengenlehre lautet (dabei ist A^C das Komplement von A):

$(A \cap B)^\complement = A^\complement \cup B^\complement$

$(A \cup B)^\complement = A^\complement \cap B^\complement$

In der Mathematik findet man zahlreiche unterschiedliche Darstellungen der De Morganschen Gesetze. Eine mathematische Darstellung in der Aussagenlogik ist:

$\begin{matrix} \neg {(a \wedge b)} = \neg{a} \vee \neg{b} \\ \neg {(a \vee b)} = \neg{a} \wedge \neg{b} \end{matrix}$ oder $\begin{matrix} \overline{(a \wedge b)} = \overline{a} \vee \overline{b} \\ \overline{(a \vee b)} = \overline{a} \wedge \overline{b} \end{matrix}$

Die Gültigkeit der De Morganschen Gesetze kann mithilfe von Wahrheitstabellen bewiesen werden.

Folgerungen

Eine Konjunktion (UND-Verknüpfung) lässt sich mithilfe des De Morganschen Gesetzes durch drei Negationen und eine Disjunktion (NICHT- und ODER-Verknüpfungen) darstellen:

$a \wedge b = \neg(\neg{a} \vee \neg{b})$

Das gleiche gilt für die Disjunktion (ODER-Verknüpfung):

$a \vee b = \neg(\neg{a} \wedge \neg{b})$

Anwendung

Die De Morganschen Gesetze haben wichtige Anwendungen in der diskreten Mathematik und in der Elektrotechnik. Die De Morganschen Gesetze werden häufig in der Entwicklung digitaler Schaltkreise genutzt, um die Typen verwendeter logischer Schaltelemente gegeneinander auszutauschen.

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