Cullen-Zahl

Eine Cullen-Zahl ist eine Zahl der Form C_n = n*2ⁿ+1, mit der sich Reverend James Cullen 1905 beschäftigt hat. Ihm fiel auf, dass außer C₁=3 alle Zahlen dieser Form bis C₉₉ zusammengesetzte Zahlen, also keine Primzahlen sind. Seine Unsicherheit bezüglich C₅₃ konnte von Allan J.C. Cunningham 1906 ausgeräumt werden, indem dieser den Teiler 5519 fand. Cunningham zeigte, dass alle C_n bis n=200 zusammengesetzt sind, mit einer möglichen Ausnahme für n=141.

1958 bestätigte Raphael M. Robinson, dass C₁₄₁ eine Primzahl ist und wies nach, dass alle Cullen-Zahlen C_n mit n <= 1000, mit Ausnahme von C₁ und C₁₄₁ zusammengesetzte Zahlen sind.

Wilfrid Keller hat 1984 gezeigt, das C₄₇₁₃, C₅₆₁₁, C₅₇₉₅ und C₁₈₄₉₆ ebenfalls Primzahlen sind, aber alle anderen C_n mit n <= 30000 zusammengesetzte Cullen-Zahlen sind.

Inzwischen (Juli 2004) ist bekannt, dass C_n für folgende n Primzahlen sind: 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275 und 481899. Außer diesen gibt es keine Cullen-Primzahlen bis n=412000.

Es wird vermutet, dass es unendlich viele Cullen-Primzahlen gibt.

Woodall-Zahl

Eine Zahl der Form C^'_n = n*2ⁿ-1 wird Cullen-Zahl der zweiten Art oder auch Woodall-Zahl genannt (nach H.J. Woodall, der sie 1917 beschrieb).

Im Bereich von n <= 20000 sind nur die Woodall-Zahlen C^'₂, C^'₃, C^'₆, C^'₃₀, C^'₇₅, C^'₈₁, C^'₁₁₅, C^'₁₂₃, C^'₂₄₉, C^'₃₆₂, C^'₃₈₄, C^'₄₆₂, C^'₅₁₂, C^'₇₅₁, C^'₈₈₂, C^'₅₃₁₂, C^'₇₇₅₅, C^'₉₅₃₁, C^'₁₂₃₇₉, C^'₁₅₈₂₂ und C^'₁₈₈₈₅ Primzahlen.

Weitere Woodall-Primzahlen sind C^'_n für folgende n: 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071

Es wird vermutet, dass es unendlich viele Woodall-Primzahlen gibt.

Verallgemeinerte Cullen- und Woodall-Zahlen

Zahlen der Form n · bⁿ + 1 bezeichnet man als verallgemeinerte Cullen-Zahlen. Zahlen der Form n · bⁿ - 1 bezeichnet man als verallgemeinerte Woodall-Zahlen

Weblinks

• Cullen Numbers (http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Cullens)
• Woodall Numbers (http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=WoodallNumber)
• Bisher bekannte Cullen-Primzahlen (http://www.prothsearch.net/cullen.html)
• Bisher bekannte Woodall-Primzahlen (http://www.prothsearch.net/woodall.html)

Literatur

• J. Cullen, "Question 15897," Educ. Times, (December 1905) 534.