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Chi-Quadrat-Verteilung

Sie befinden Sie in: Formelsammlung Lexikon > c > Chi-Quadrat-Verteilung

Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen.

Im allgemeinen ist mit "Chi-Quadrat-Verteilung" die zentrale Chi-Quadrat-Verteilung gemeint. Ihr einziger Parameter n muss eine natürliche Zahl sein und heißt ihre Freiheitsgrade. Die Chi-Quadrat-Verteilung ist die Verteilung der Summe

$X=Z_1^2 + \ldots + Z_n^2$

von n unabhängigen standard-normalverteilten Zufallsvariablen, in symbolischer Notation: Wenn

$Z_k\sim N(0,1) \quad (k=1,\ldots,n)$

und unabhängig sind, dann gilt

$X\sim\chi^2(n).$

Dichte und Verteilungsfunktion

Die Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung ist

$f(x)= \frac{x^{\frac{n}{2}-1}}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \exp \left(-\frac{x}{2}\right) \quad 0 < x <\infty$

und ihre Verteilungsfunktion

$F(x)= \Gamma \left(\frac{n}{2},\frac{x}{2}\right).$

Die folgenden Bezeichnungen wurden hier verwendet: $?(z)$ für die Gammafunktion und $?(a, z)$ für die regularisierte unvollständige Gammafunktion.

Die Funktionswerte der Verteilung und ihre Quantile liegen tabelliert vor.

gilt n ? 30, ist

$\sqrt{2X} - \sqrt{2n-1}$

näherungsweise standardnormalverteilt.

Eigenschaften

Der Erwartungswert der Chi-Quadrat-Verteilung ist $n$ .

Die Varianz der Chi-Quadrat-Verteilung ist $2 n$ .

Der Modus der Chi-Quadrat-Verteilung ist $n - 2$ für $n\ge 2$ .

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist ein Spezialfall der Gammaverteilung. Ist $X\sim \chi^2(n)$ , so gilt

$X \sim Gamma\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right)$

Wenn die normalverteilten Zufallsvariablen nicht bezüglich ihres Erwartungswertes ?_i (i = 1, ... , n) zentriert sind, erhält man die nichtzentrale Chi-Quadratverteilung. Sie hat als zweiten Parameter neben n den Nichtzentralitätsparameter

$\lambda = \sum_{i=1}^n \mu_i .$

Für $n > 100$ ist eine Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable näherungsweise normalverteilt mit $N\left( n, \sqrt{2n}\right)$ .

Bild der Dichtefunktion

Dichte der Chi-Quadrat-Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden

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