Charakteristik ist ein mathematischer Begriff aus der Ring- und Körpertheorie. Davon zu unterscheiden ist der mathematische Begriff Charakter.

Definition: Charakteristik eines Rings

In der Algebra gibt die Charakteristik eines Ringes R mit 1 an, wie oft man das Einselement 1_R aufaddieren muss, damit die Summe gleich dem Nullelement 0_R wird.

1R + 1R + ... + 1R = 0R
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        |
      n mal  ==> char(R) = n

Hat keine endliche Summe von Einsen den Wert 0_R, dann sagt man, der Ring hat die Charakteristik 0. Eine übliche Abkürzung der Charakteristik von R ist char(R).

Die Charakteristik des Ringes R ist die eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahl n, für die R einen Teilring hat, der isomorph zum Restklassenring Z/nZ ist. (Beachte, dass Z/0Z=Z ist.)

Beispiele und Eigenschaften

Der Restklassenring Z/nZ hat die Charakteristik n.

Sind R und S Ringe mit 1 und gibt es einen Ringhomomorphismus R -> S, dann ist die Charakteristik von S ein Teiler der Charakteristik von R.

Für einen Integritätsring (und insbesondere einen Körper) ist die Charakteristik entweder 0 oder eine Primzahl.

Jeder geordnete Körper (z.B. die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen) hat die Charakteristik 0.

Ist R ein Teilring mit 1 von S, dann haben R und S dieselbe Charakteristik. Zum Beispiel ist für ein irreduzibles Polynom g über dem Restklassenkörper Z/pZ vom Grad n der Faktorring (Z/pZ)[X]/(g) ein Körper (der isomorph ist zum endlichen Körper GF(pⁿ)), der Z/pZ enthält und also die Charakteristik p hat. Da die komplexen Zahlen die rationalen enthalten, ist auch ihre Charakteristik 0.

Jeder Körper der Charakteristik 0 ist unendlich.

Es gibt unendliche Körper mit Primzahlcharakteristik. Zum Beispiel den Körper der rationalen Funktionen über Z/pZ. Ein anderes Beispiel ist der algebraische Abschluss von Z/pZ.

Die Mächtigkeit eines endlichen Körpers der Charakteristik p ist eine Potenz von p. Denn in diesem Fall enthält er den Teilkörper Z/pZ und ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über diesem Teilkörper. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass die Ordnung des Vektorraums dann eine Potenz von p ist.

Daraus folgt, dass jeder endliche Vektorraum als Mächtigkeit eine Primzahlpotenz hat, da dieser dann ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper sein muss (und (pⁿ)^m ist selbst eine p-Potenz).

Ist R ein Integritätsring mit Primzahlcharakteristik p, dann gilt (x+y)^p = x^p + y^p für alle x, y in R. Die Abbildung f(x) = x^p definiert einen injektiven Ringhomomorphismus R->R. Er heißt Frobenius-Homomorphismus.