Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, auch bekannt als Schwarz-Ungleichung oder Cauchy-Bunyakovski-Schwarz-Ungleichung, ist eine nützliche Ungleichung, die in vielen Bereichen verwendet wird, z.B. Lineare Algebra (Vektoren), Analysis (unendliche Reihe)n und Integration von Produkten. Die Ungleichung sagt aus: Wenn x und y Elemente eines reellen oder komplexen Vektorraums sind, dann gilt:

Beide Seiten sind genau dann gleich, wenn x und y linear abhängig sind.

Eine wichtige Folgerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist, dass das Vektor-Produkt eine stetige Funktion ist.

Auf euklidische Räume Rⁿ angewandt, erhält man:

Im Fall quadratisch integrierbarer komplexwertiger Funktionen erhält man:

Die beiden letzten Ungleichungen werden durch die Hölder-Ungleichung verallgemeinert.

Benannt ist die Ungleichung nach Augustin Louis Cauchy und Herrmann Amandus Schwarz.

Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung kann man die Heisenbergsche Unschärferelation herleiten.

siehe auch: Dreiecksungleichung.