In der Mathematik ist eine Cauchy-Folge eine spezielle, vor allem in der Analysis verwendete Art von Folgen. Sie sind nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy benannt.

Cauchy-Folgen in einer Menge X kann man nur definieren, wenn auf X eine Metrik d vorhanden ist. Das Paar (X,d) wird dann als metrischer Raum bezeichnet. Die Menge der reellen Zahlen mit dem gewöhnlichen Abstand d(x,y) = | x - y | (siehe absoluter Betrag) ist zum Beispiel ein metrischer Raum.

Definition

Sei (X,d) ein metrischer Raum. Eine Folge (x_i) in X heißt Cauchy-Folge, wenn gilt:

Das bedeutet: Zu jedem reellen gibt es eine natürliche Zahl N, so dass für alle natürlichen Zahlen folgende Bedingung gilt: .

Beispiele

Wenn nichts anderes gesagt wird, beziehen sich die Beispiele auf die reellen Zahlen mit dem gewöhnlichen Abstand.

• Die Folge x_n = 1 / n ist eine Cauchy-Folge:

  Sei beliebig vorgegeben. Wähle N so, dass erfüllt ist. Seien beliebig, dann gilt:

  

• Die Folge x_n = n ist keine Cauchy-Folge:

  Sei gewählt, und N eine beliebige natürliche Zahl. Dann wähle m = N + 1 und n = m + 1. Es ist dann

  ,

  die Bedingung einer Cauchy-Folge ist also nicht erfüllt.

Eigenschaften

Ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert, wird vollständiger Raum genannt. Das heißt, in einem solchen Raum besitzt jede Cauchy-Folge einen Grenzwert, der Element des Raumes ist. Konvergente Folgen sind stets Cauchy-Folgen, die Umkehrung gilt aber nicht immer.

Zum Beispiel sind die reellen Zahlen mit dem gewöhnlichen Abstand vollständig, aber die rationalen Zahlen nicht.