Die Cantor-Diagonalisierung, auch Cantorsches Diagonalverfahren genannt, wurde von Georg Cantor entwickelt. Das Verfahren veranschaulicht, warum gewisse intuitiv verschiedengroße Mengen gleichgroß sind.

Zum Verständnis der Problematik und des Beweises ist es notwendig, die unspezifizierte Größe einer Menge durch die in der Mengenlehre formal definierte Mächtigkeit zu ersetzen:

Zwei Mengen sind genau dann gleichmächtig, wenn jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zugeordnet werden kann, und umgekehrt ebenso, wenn also eine Bijektion zwischen den Mengen existiert.

Während dies bei Mengen mit endlich vielen Elementen klar ist ({1,2,3} und {6,8,10} sind gleichmächtig), wird bei Mengen mit unendlich vielen Elementen die Problematik offensichtlich.

Beispielsweise sind die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der positiven geraden Zahlen gleichmächtig, denn man kann ein-eindeutig jeder natürlichen Zahl i gerade ihre Doppeltes 2·i zuordnen.

Vorgehen bei der Cantor-Diagonalisierung

Cantors Verfahren wird am besten mit der einfachsten unendlich großen Menge, den natürlichen Zahlen, und den positiven Brüchen (siehe Rationale Zahlen) veranschaulicht. Die Aussage ist, dass die natürlichen Zahlen und die positiven Brüche gleichmächtig sind.

Dies lässt sich zeigen, indem man die Brüche folgendermaßen in einem zweidimensionalen Schema anordnet:

    1/1  1/2  1/3  1/4  1/5 ...
    2/1  2/2  2/3  2/4  2/5 ...
    3/1  3/2  3/3  3/4  3/5 ...
    4/1  4/2  4/3  ...
    5/1  5/2  ...
    ...

und dieses Schema dann 'diagonal' durchläuft (abzählt), wobei man kürzbare Brüche überspringt:

    1.-> 2.   5.-> 6.   11. -> ...
       /    /    /    /
      /    /    /    /
    3.  (-)   7.  (-)
    |  /    /    /
    | /    /    /
    4.   8.  (-)
       /    /
      /    /
    9.  (-)
    |   /
    |  /
    10.

Man erhält auf diese Weise eine Abzählung der positiven rationalen Zahlen:

1, 1/2, 2, 3, 1/3, 1/4, 2/3, 3/2, 4, 5, 1/5, ...

Durch das Überspringen kürzbarer Brüche liegt für jede positive rationale Zahl genau ein Repräsentant (der nicht mehr kürzbare Bruch) in dieser Abzählung, wodurch die gewünschte Bijektion hergestellt ist.

Um nun alle rationalen Zahlen in Bijektion zu den natürlichen Zahlen zu setzen, erweitert man die eben gefundene Abzählung um die Null und die negativen Brüche:

0, 1, -1, 1/2, -1/2, 2, -2, 3, -3, 1/3, -1/3, 1/4, -1/4, 2/3, -2/3, ...

Mengen, welche gleichmächtig zu einer beschränkten Teilmenge der natürlichen Zahlen sind, sind endlich. Mengen, welche gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen sind, heißen abzählbar unendlich (bzw. abzählbar). Mengen, welche gleichmächtig zu irgendeiner Teilmenge der natürlichen Zahlen sind, heißen abzählbar (bzw. höchstens abzählbar).

Weitere Beispiele sowie das Cantorsche Diagonalverfahren selbst sind auch im Artikel Hilberts Hotel veranschaulicht.

Mächtigkeit der reellen Zahlen

Die Menge R der reellen Zahlen ist zur Menge der natürlichen Zahlen nicht gleichmächtig. Ihre Mächtigkeit wird als überabzählbar bezeichnet. Man sagt auch, die reellen Zahlen haben die Mächtigkeit des Kontinuums.

Der Beweis der Überabzählbarkeit von R ist Inhalt des zweiten Cantorschen Diagonalbeweises.

Verallgemeinerung der Cantor-Diagonalisierung

Die erste Cantor-Diagonalisierung kann man verallgemeinern, um vergleichbare Aussagen über Mengen von Tupeln reeller Zahlen zu machen.

Die folgende Darstellung ist nicht die traditionelle 'Cantor-Diagonalisierung', sondern eher eine Vorschrift zum Erstellen eines 'fraktalen' Objektes.

Georg Cantor hat gezeigt, dass es Kurven (1-dimensionale Objekte) gibt, die Flächen (2-dimensionale Objekte) füllen können, und zwar so:

Man nehme eine quadratische Fläche, die durch die Eckpunkte (0,0) und (3,3) aufgespannt ist. Man ziehe eine Strecke von (0,0) nach (3,3).

Diese Kurve innerhalb des Quadrates ändere man nun so ab: Man teile die quadratische Fläche in ein Raster 9 gleichgroßer Quadrate. Man ändere den Kurvenverlauf nun so ab, dass folgende Punkte die Endpunkte von Teilstrecken bilden:

(0,0) - (1,1) - (0,2) - (1,3) - (2,2) - (1,1) - (2,0) - (3,1) - (2,2) - (3,3)

Die Kurve hat danach folgendes Aussehen:

Die abgeänderte Kurve hat die Eigenschaft, dass sie ebenfalls das Quadrat durchzieht und den selben Anfangs- und den selben Endpunkt hat.

Dieses Verfahren wiederhole man nun für jedes der kleinen Teil-Quadrate, und die daraus entstandenen Teil-Quadrate und so weiter. Der Grenzwert dieses Verfahrens ist eine Kurve, die das gesamte Quadrat ausfüllt.

Diese (unendlich lange) Grenzkurve ist Bild einer stetigen Abbildung ? vom Intervall [0, 1]. Dazu setzt man zunächst die Endpunkte ?(0) = (0,0), ?(1) = (3,3). Im zweiten Schritt setzt man die Eckpunkte der ersten Verfeinerung:

0   -> (0,0)
1/9 -> (1,1)
2/9 -> (0,2)
3/9 -> (1,3)
4/9 -> (2,2)
5/9 -> (1,1)
6/9 -> (2,0)
7/9 -> (3,1)
8/9 -> (2,2)
1   -> (3,3)

Dann setzt man in jedem Schritt die hinzukommenden Eckpunkte auf Werte zwischen den bisherigen Zahlen. Die Grenzkurve ist dann genau das Bild der so definierten Abbildung ?. Beachte, dass dies keine Bijektion von [0, 1] auf [0,3]×[0,3] ist, da die Abbildung zwar surjektiv, aber nicht injektiv ist; z.B. ist ?(1/9) = ?(5/9).

Während die Zahl eindimensional ist, sind die zugehörigen Koordinaten zweidimensional. Folglich kann man eindimensionale Zahlen in mehrdimensionale Zahlen überführen und umgekehrt. Mengen mehrdimensionaler Elemente sind somit nicht mächtiger als Mengen eindimensionaler Elemente.

Dieser Umstand hatte einige Mathematiker zu der Zeit, als die Cantor-Diagonalisierung vorgestellt wurde, tief unglücklich gemacht, weil diese Erkenntnis nicht der Intuition entspricht.

Verwandte Themen

• Cantorsche Paarungsfunktion