Die Brunsche Konstante ist ein Begriff aus der Zahlentheorie. Schon der griechische Mathematiker Euklid bewies, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Seit Jahrhunderten verzweifeln Mathematiker am Beweis, ob es denn nun auch unendlich viele Primzahlzwillinge gibt oder nur endlich viele.

Wie man beweisen kann, divergiert die harmonische Reihe und mit ihr auch die Reihe der Kehrbrüche der Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61... .

Demhingegen konvergiert die Reihe aller Kehrbrüche der Primzahlzwillinge 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 41, 43, 59, 61... gegen eine Konstante. Diese beträgt in etwa 1,90216054, was aber nicht hundertpozentig gesichert ist. Die Zahl ist benannt nach dem Mathematiker Viggo Brun, der sie erstmals näherungsweise ausrechnete.

Diese Berechnung ist über alle Maßen schwer, so beträgt der Wert für die Primzahlzwillinge bis ca. 1.000.000.000.000 nur ungefähr 1,82.

Die Tatsache, dass die Reihe der Reziproken der Primzahlzwillinge konvergiert, ist aber kein Beweis dafür, dass nur endlich viele Primzahlzwillinge existieren, wie man an der harmonischen Reihe der Kehrbrüche aller Quadratzahlen sieht, welche ebenfalls konvergiert.

Analog kann man die Summe aller Kehrbrüche der Primzahl-Quadrupel berechnen:

Diese Summe hat folgenden Wert: