Die Brachistochrone (gr. brachistos kürzeste, chronos Zeit) ist die schnellste Verbindung zweier Punkte durch eine Bahn, auf der ein Massepunkt reibungsfrei hinabgleitet. Dabei liegt ein Punkt tiefer als der andere, aber nicht in derselben Senkrechten. Der Tiefpunkt der Bahn kann tiefer liegen als beide Punkte.

Gleichzeitig ist diese Kurve eine Tautochrone, d.h. von jedem Punkt der Kurve benötigt man die gleiche Zeit, um zum Tiefpunkt zu gelangen.

Form

Die Spiegelung der Brachistochrone an der x-Achse ist eine Zykloide.

Geschichte

Johann Bernoulli hat sich mit dem Problem des schnellsten Falles beschäftigt. Im Jahre 1696 fand er schließlich die Lösung in der Brachistochrone.

Funktion

Die Brachistochrone lässt sich mittels Parameterdarstellung beschreiben, d.h. man kann einzelne Punkte mit einem Ortsvektor darstellen.

Die Formeln für die x- und y-Koordinaten:

x=i-r*sin(i/r)

y=r*cos(i/r)-r, wobei r= Radius des abgerollten Kreises; i=Laufvariable (in Radian)

Hilfreich für das Verstehen des Problems: Der Winkel "Berührungspunkt des Kreises-Kreismittelpunkt-Brachistochronenpunkt" in Radian entspricht der bereits abgerollten Strecke. Die Laufvariable läuft von 0 bis 2*pi.

Anwendung

Die Brachistochrone ist die optimale Grundform einer Halfpipe für Snowboards

Webtipp

http://home.ural.ru/~iagsoft/BrachJ2.html