Formelsammlung Lexikon Biquadratische Gleichung


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Biquadratische Gleichung

Sie befinden Sie in: Formelsammlung Lexikon > b > Biquadratische Gleichung

Biquadratische Gleichung

Die allgemeine Form einer biquadratischen Gleichung ist:

$a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0$

Dabei ist $a\neq 0$ (sonst läge eine kubische Gleichung vor). Durch Division durch a bringt man sie auf die Form:

$x 4 + p x 3 + q x 2 + r x + s = 0$

Auf diese Form kann man die von Lodovico Ferrari (*1522, ?1565) gefundene Lösungsformel anwenden:

Lösung (nach Ferrari)

$a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0$

$p = {3bd - c^2\over 12a^2} - {e \over a}$
$q = {8ce - 3d^2\over 24a^2} - {27b^2e - 9bcd + 2c^3 \over 216a^3}$

$z 3 + p z + q = 0$

Fall 1: ${q^2 \over 4} + {p^3 \over 27} > 0$

$z = \sqrt[3]{-{q \over 2} + \sqrt{{q^2 \over 4} + {p^3 \over 27}}} + \sqrt[3]{{-{q \over 2}} - \sqrt{{q^2 \over 4} + {p^3 \over 27}}}$

Fall 2: ${q^2 \over 4} + {p^3 \over 27} = 0$

$z = \sqrt[3]{{q \over 2}}$

Fall3: ${q^2 \over 4} + {p^3 \over 27} < 0$

$z = 2\,\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{-q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)\right)$

y = z + c/6*a

$y = z + {c \over 6*a}$

Fall1: ${{b \over a}*y} - {d \over a} > 0$

x1 = -b/4*a - 0.5 * Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) + Quadratwurzel(((b*b)/(8*a*a)) - 0.5*y - (c/(4*a)) + (b/(4*a))*Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) - Quadratwurzel(y*y - (e/a)))

x2 = -b/4*a - 0.5 * Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) - Quadratwurzel(((b*b)/(8*a*a)) - 0.5*y - (c/(4*a)) + (b/(4*a))*Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) - Quadratwurzel(y*y - (e/a)))

x3 = -b/4*a + 0.5 * Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) + Quadratwurzel(((b*b)/(8*a*a)) - 0.5*y - (c/(4*a)) - (b/(4*a))*Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) + Quadratwurzel(y*y - (e/a)))

x4 = -b/4*a + 0.5 * Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) - Quadratwurzel(((b*b)/(8*a*a)) - 0.5*y - (c/(4*a)) - (b/(4*a))*Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) + Quadratwurzel(y*y - (e/a)))

Fall1: ${{b \over a}*y} - {d \over a} < 0$

x1 = -b/4*a - 0.5 * Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) + Quadratwurzel(((b*b)/(8*a*a)) - 0.5*y - (c/(4*a)) + (b/(4*a))*Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) + Quadratwurzel(y*y - (e/a)))

x2 = -b/4*a - 0.5 * Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) - Quadratwurzel(((b*b)/(8*a*a)) - 0.5*y - (c/(4*a)) + (b/(4*a))*Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) + Quadratwurzel(y*y - (e/a)))

x3 = -b/4*a + 0.5 * Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) + Quadratwurzel(((b*b)/(8*a*a)) - 0.5*y - (c/(4*a)) - (b/(4*a))*Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) - Quadratwurzel(y*y - (e/a)))

x4 = -b/4*a + 0.5 * Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) - Quadratwurzel(((b*b)/(8*a*a)) - 0.5*y - (c/(4*a)) - (b/(4*a))*Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) - Quadratwurzel(y*y - (e/a)))

Siehe auch: Gleichung, Lösen von Gleichungen, Mathematik

</math>

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