Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms x+y, also einen Ausdruck der Form

als Polynom n-ten Grades in den Variablen x und y auszudrücken.

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Es gilt für alle reellen oder komplexen Zahlen x und y und für alle natürlichen Zahlen n die Gleichung:

Die Koeffizienten dieses Polynoms sind wie folgt definiert:

(n! bezeichnet hierbei die Fakultät von n)

Sie werden aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz als Binomialkoeffizienten bezeichnet. (Pascalsches Dreieck)

Für jedes einzelne n kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

Isaac Newton ist eine Verallgemeinerung des Theorems auf beliebige reelle Exponenten ? mittels unendlicher Reihen zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn ? eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form:

Diese Reihe ist im Fall, dass ? nicht positiv und ganzzahlig ist, konvergent für alle mit | x / y | < 1.

Für geht Gleichung (2) aber in (1) über und ist gültig für alle und alle .

Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als

(Im Fall k = 0 entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.)

Für ? = -1 und y = 1 ergibt sich aus (2) als Sonderfall die Geometrische Reihe.

Weiterführende Literatur

M. Barner, F. Flohr Analysis I. de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6.