Bijektivität (bijektiv oder umkehrbar eindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion.

Eine bijektive Funktion ist eine Funktion, die verschiedene Elemente ihres Definitionsbereichs auf verschiedene Elemente des Wertebereichs abbildet (sie ist injektiv), und für die zusätzlich jedes Element des Wertebereichs als Bild auftritt (sie ist surjektiv). Eine bijektive Funktion hat daher immer eine vollständig definierte Umkehrfunktion.

Die "Anzahl der Elemente" der Definitionsmenge, Bildmenge und der Wertemenge einer bijektiven Funktion sind stets gleich groß (mit Hilfe von Bijektionen wird der Begriff der Gleichmächtigkeit definiert), diese Eigenschaft reicht aber nicht zur Definition einer bijektiven Funktion aus.

Definition

Sei f eine Funktion von X nach Y.

f ist bijektiv, wenn für alle genau ein mit f(x) = y existiert.
(genau eins bedeutet eins und nur eins)

alternativ:

f ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

Beispiele und Gegenbeispiele

Sind A und B endliche Mengen mit gleich vielen Elementen, dann ist eine injektive Abbildung von A nach B bereits bijektiv, ebenso ist eine surjektive Abbildung schon bijektiv.

Für unendliche Mengen muss das nicht gelten. Unendliche Mengen können z.B. injektiv auf echte Teilmengen abgebildet werden, ebenso gibt es surjektive Abbildungen einer unendlichen Menge in sich selbst, die nicht injektiv sind. Solche Überraschungen werden im Artikel Hilberts Hotel detaillierter beschrieben.

Ein konkretes Beispiel (die Abbildung f(x) = x² mit verschiedenen Definitions- und Wertebereichen) gibt der Artikel Injektivität.

Vergleich

Injektivität, Surjektivität