Eine Basis eines Vektorraums V ist eine durch folgende gleichwertige Eigenschaften charakterisierte Teilmenge B:

1. Jedes Element von V lässt sich als Linearkombination von B darstellen, und diese Darstellung ist eindeutig.
2. B ist ein minimales Erzeugendensystem von V.
3. B ist ein maximales linear unabhängiges System in V.
4. B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Die Elemente einer Basis heißen Basisvektoren. Unter einem Basisvektor versteht man die partielle Ableitung des Ortsvektors nach einer der Koordinaten des jeweiligen Koordinatensystems.

Eine Linearkombination aus B ist eine endliche Summe skalarer Vielfache von Elementen aus B. Also: Sind b₁,...,b_n aus B und a₁,...,a_n Skalaren, dann ist a₁b₁ + ... + a_nb_n eine Linearkombination.

Ein Erzeugendensystem eines Vektorraums V ist eine Teilmenge E mit der Eigenschaft, dass jeder Vektor von V sich als Linearkombination aus E darstellen lässt.

Eine Teilmenge B des Vektorraums V heißt linear unabhängig, wenn die Darstellung des Nullvektors als Linearkombination von B eindeutig ist, wenn also gilt: Ist a₁b₁ + ... + a_nb_n = 0 eine Darstellung des Nullvektors, dann folgt dass alle a_i = 0 sein müssen.

Die Anzahl der Elemente einer Basis nennt man die Dimension des Vektorraums.

Die Skalare, die in der Darstellung eines Vektors auftreten, nennt man die Koordinaten des Vektors, zusammen bilden sie ihrerseits einen Koordinatenvektor (der allerdings in einem anderen Vektorraum liegt, dem Koordinatenraum).

Mit dem Lemma von Zorn kann man beweisen, dass jeder Vektorraum eine Basis haben muss, auch wenn man sie oft nicht explizit angeben kann. (Verwendet man allerdings eine Mengenlehre ohne das Auswahlaxiom oder äquivalente Aussagen, dann kann es Vektorräume ohne Basis geben.)

Beispiele

• In der Euklidischen Ebene R² hat man die so genannte kanonische Einheitsbasis {(1,0),(0,1)}. Darüber hinaus bilden in dieser Ebene zwei Vektoren eine Basis, wenn sie nicht dieselbe Richtung haben.

• Als R-Vektorraum hat C die Basis {1,i}.

• Als Q-Vektorraum hat R eine Basis, die man aber nicht explizit angeben kann.

• Der Vektorraum der Polynome über einem Körper hat die Basis

• Im Vektorraum der reellen Zahlenfolgen bilden die folgenden Vektoren zwar ein linear unabhängiges System, aber keine Basis, denn z.B. die Folge (1,1,1,...) wird nicht davon erzeugt:

{(1,0,0,0,...),(0,1,0,0,...),(0,0,1,0,...),...}

Orthonormalbasis

Beim Studium von Hilberträumen gibt es eine andere, zweckmäßigere Art, die Elemente des Raumes darzustellen. Eine Basis besteht dabei aus paarweise orthogonalen Einheitsvektoren, und es werden nicht nur endliche, sondern auch unendliche Summen der Basisvektoren zugelassen. Eine solche Orthonormalbasis ist in einem unendlichdimensionalen Raum keine Basis im hier definierten Sinne. Der hier beschriebene Basis-Typ wird zur Unterscheidung auch Hamelbasis genannt.