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Babylonisches Wurzelziehen

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Babylonisches Wurzelziehen

Das Babylonische Wurzelziehen (oft auch Heron-Verfahren) ist ein alter iterativer Algorithmus zur Bestimmung der Quadratwurzel einer Zahl. Es ist ein Spezialfall des Newton-Verfahrens.

Die Iterationsvorschrift lautet:

$x_{n+1}=\frac{x_n + \frac{a}{x_n}}{2}$

Hierbei steht $a$ für die Zahl, deren Quadratwurzel bestimmt werden soll. Der Startwert $x 0$ der Iteration kann, solange er nicht gleich Null ist, beliebig festgesetzt werden, wobei zu beachten ist, dass negative Werte gegen die negative Quadratwurzel konvergieren.

Inhaltsverzeichnis

1 triviales Beispiel

2 Konvergenz

3 Fehler

4 Geschichte

triviales Beispiel

Im Folgenden ein triviales Beispiel für die Quadratwurzel aus 9 und die Annäherung nach vier Berechnungsschritten an den wahren Wert $\sqrt{9} = 3$ .

$a = 9$ und $x 0 = 1$

$x_1=\frac{1 + \frac{9}{1}}{2} =\frac{10}{2}=5$

$x_2=\frac{5 + \frac{9}{5}}{2} =\frac {\frac {34}{5}} {2} =\frac{34}{10} = 3{,}4$

$x_3=\frac{\frac{34}{10} + \frac{9}{\frac{34}{10}}}{2} =\frac{\frac{34}{10} + \frac{90}{34}}{2} =\frac{257}{85} \approx3{,}0235$

$x_4=\frac{\frac{257}{85} + \frac{9}{\frac{257}{85}}}{2} =\frac{\frac{257}{85} + \frac{765}{257}}{2} =\frac{65537}{21845} \approx3{,}00009$

Konvergenz

Das Verfahren konvergiert relativ rasch innerhalb weniger Schritte. Da es sich aus dem Newtonschen Näherungsverfahren ableiten läßt, ist die Konvergenzordnung 2.
Es gilt:
$\sqrt{a} \le x_{n+1} \le x_n (n = 1, 2...)$ und
$\lim_{n \to \infty}x_n = \sqrt{a}$

Fehler

Für den Fehler der Heron-Folge ${x_n} (n \ge 1)$ gilt:
$a/x_n \le \sqrt{a} \le x_n$ (Einschließung), sowie
$x_n-\sqrt{a} \le \frac {1}{2\sqrt{a}} (x_{n-1}-\sqrt{a})^2$ (quadratische Konvergenz)

Geschichte

Dieses Verfahren ist auch unter dem Namen Heron-Verfahren bekannt. Es wurde nach Heron von Alexandria benannt und entstammt seiner Formelsammlung.

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