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Anfangswertproblem

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Anfangswertproblem

Als Anfangswertproblem (AWP) (oder manchmal auch als Anfangswertaufgabe (AWA)) bezeichnet man in der Mathematik Problemstellungen, in denen aus einem vorgegebenen Funktionswert $y 0$ , dem Anfangswert, zu einem Zeitpunkt $t 0$ und einer Differentialgleichung für $y (t)$ Funktionswerte für beliebige $t$ berechnet werden sollen.

$y'(t) = f(t, y(t)), \quad y(t_0) = y_0\qquad$ heißt AWP 1. Ordnung.

Allgemeine Definition

Seien $k\in\mathbb{N},~D\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{k\cdot n},~(x_0,y_0,y_1,\ldots,y_{k-1})\in D,~f:D\rightarrow\mathbb{R}^n$

$\begin{cases} y^{(k)}=f(x,y(x),y'(x),\ldots,y^{(k-1)}(x))& \\ y(x_0)=y_0,~\ldots,~ y^{(k-1)}(x_0)=y_{k-1}& \end{cases}\qquad$ heißt AWP k. Ordnung

Anfangswertprobleme treten zum Beispiel in den Naturwissenschaften auf, wenn für natürliche Prozesse ein mathematisches Modell gesucht wird.

Wichtige Sätze, die die Lösbarkeit von AWP betreffen sind der (lokale) Existenzsatz von Peano und der Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf.

Siehe auch: Anfangsbedingung, Randwertprobleme, Eulersches Polygonzugverfahren

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