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Analytische Geometrie

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Analytische Geometrie

Die analytische Geometrie untersucht geometrische Fragen mit algebraischen Methoden.

Das entscheidende Hilfsmittel der analytischen Geometrie ist ein Koordinatensystem (üblicherweise ein Kartesisches Koordinatensystem), das es erlaubt, einen Punkt der Euklidischen Ebene als ein Zahlenpaar oder einen Punkt des Euklidischen Raums als ein Zahlentripel darzustellen; die Zahlen eines solchen Paars oder Tripels (allgemein: Tupel) heißen die Koordinaten des Punkts.

Geometrische Figuren wie Geraden oder Kreise sind Punktmengen, können also durch Mengen von Koordinatentupeln beschrieben werden. Man findet, dass die Koordinaten bestimmter geometrischer Figuren bestimmten, charakteristischen Gleichungen (Geradengleichung, Kreisgleichung, ...) genügen. Damit können Beziehungen zwischen geometrischen Figuren rechnerisch untersucht werden.

Im Gegensatz zu der mit Lineal- und Zirkelkonstruktionen arbeitenden Euklidischen Geometrie ist die Analytische Geometrie nicht auf räumliche Anschauung angewiesen; nachdem man sich in die Methodik eingearbeitet hat, kann man geometrische Probleme rein rechnerisch lösen. Dies ermöglicht es auch, geometrische Sachverhalte in vier- und höherdimensionalen Räumen zu formulieren und zu überprüfen: durch Hinzunahme weiterer Koordinaten kann man die Methoden der zwei- oder dreidimensionalen Analytischen Geometrie problemlos verallgemeinern.

Koordinatentupel werden heutzutage in aller Regel als Vektoren aufgefasst; viele Rechnungen der Analytischen Geometrie werden durch die Methoden der Vektorrechnung vereinheitlicht und vereinfacht. Obwohl die gesamte analytische Geometrie ohne Vektoren erfunden wurde und natürlich immer noch ohne Vektoren praktiziert werden kann und umgekehrt der Vektorraum als ein abstrakt-algebraisches Konstrukt ohne geometrischen Bezug definiert werden kann, erscheint die Verwendung von Vektoren in Kartesischen Koordinatensystemen so natürlich, dass "Lineare Algebra und Analytische Geometrie" in der Sekundarstufe II und im mathematisch-physikalisch-technischen Grundstudium allgemein als ein Kurs unterrichtet werden.

Analytische Geometrie der Ebene

Ein Punkt in der Ebene ist durch 2 Zahlen gegeben, z.B. P(2|-1,5). Die Koordinaten nennt man üblicherweise (in dieser Reihenfolge, d.h. in der Reihenfolge des Alphabets) die x-Koordinate (auch: Abszisse) und die y-Koordinate (auch: Ordinate).

Ein Gebilde wie eine Gerade ist die Menge der Punkte, deren Koordinaten die Gleichung dieser Geraden erfüllen, z.B.

$y = 2 \cdot x - 3$ .

Der Punkt P(2|1) ist Element dieser Geraden (d.h. umgangssprachlich: er liegt auf dieser Geraden), denn für seine Koordinaten x=2 und y=1 gilt:

$1 = 2 \cdot 2 - 3$ .

Der Punkt S(4|2) hingegen ist nicht Element dieser Geraden (liegt nicht auf der Geraden), denn mit x=4 und y=2 wird

$2 \neq 2 \cdot 4 - 3$ .

Der Schnittpunkt zweier Geraden ist in der analytischen Geometrie die Schnittmenge der beiden Punktmengen, also der Punkt, der beiden Mengen angehört und folglich simultan beide Gleichungen erfüllt. Die Bestimmung des Schnittpunktes läuft somit auf das Lösen eines Gleichungssystem hinaus.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass in der analytischen Geometrie geometrische Operationen auf arithmetische Operationen zurückgeführt werden.

Räumliche analytische Geometrie

Dieses Teilgebiet beschäftigt sich mit der analytischen Geometrie des Raumes. Punkte werden durch 3 Koordinaten definiert.

Gegenstände der räumlichen analytischen Geometrie sind

Geraden im Raum

Ebenen im Raum

Dreiecke und Vielecke im Raum

Polyeder (Vielflächner) im Raum (d.h. Körper wie Quader, Spat, Pyramide)

Kegel

Kugeln

Rotationskörper wie Ellipsoide, Paraboloide, Hyperboloide

sowie ihre Lage zueinander (Schnittpunkte, Schnittfiguren, Abstände voneinander) und ihre Eigenschaften (Volumen, Flächeninhalte, Seitenlängen, Winkel, usw.).

Formelsammlung (vorerst noch unvollständig und unsystematisch)

Es seien $P:=(x | y), \ P_1 := (x_1 | y_1) ,\ ... \ P_n := (x_n | y_n)$ Punkte der Ebene,
$\vec a := {a_x \choose a_y}, \ \vec b := {b_x \choose b_y} \ ...$ Vektoren.

Abstand zwischen $P 1$ und $P 2$ :
$d=\sqrt{ (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 }$

Mittelpunkt der Strecke $\overline{P_1 P_2}$ :
$P_M = \left( \frac{x_1+x_2}{2} \ , \ \frac{y_1+y_2}{2} \right)$

Dreiecksschwerpunkt des Dreiecks $P 1 P 2 P 3$ :
$S = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \ , \ \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$

Dreiecksfläche ( $\vec a := \overrightarrow{P_1P_2}\ , \ \vec b := \overrightarrow{P_1P_3}$ ) :
$A = \pm \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix}$

Fläche des Polygons $P 1 P 2 ... P n$ :
$A = \pm \frac{1}{2} \cdot \left( x_1 y_2 + x_2 y_3 + ... + x_{n-1} y_n + x_n y_1 \ - \ x_n y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - ... - x_n y_{n-1} - x_1 y_n \right)$

Winkel $\vartheta$ zwischen zwei Vektoren (vergleiche Skalarprodukt):

$\cos \vartheta = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \ | \vec b|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2} \ \sqrt{b_x^2 + b_y^2}}$

Es seien $P:=(x,y,z), \ P_1 := (x_1 | y_1 | z_1) ,\ ... \ P_n := (x_n | y_n | z_n)$ Punkte im Raum,
$\vec a := {\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}} , \ \vec b := {\begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}} \ ...$ Vektoren.

Tetraedervolumen ( $\vec a := \overrightarrow{P_0P_1}\ , \ \vec b := \overrightarrow{P_0P_2} \ , \ \vec c := \overrightarrow{P_0P_3}$ ) :
$V= \pm \frac{1}{6} [ \vec a, \vec b, \vec c ] = \pm \frac{1}{6} \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$

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