Analysis (v. griech. ???????? analysein: ?auflösen?) ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander entwickelt wurden.

Die Analysis befasst sich mit dem Verhalten und den Eigenschaften von unendlichen Folgen und Reihen. Die grundlegenden Begriffe Stetigkeit, Differentiation und Integration beruhen auf dem Grenzwertbegriff für unendliche Folgen. Funktionen reeller Zahlen sind ein weiteres Hauptthema der Analysis, wobei sich wesentliche Funktionen der Analysis als Grenzwerte von Folgen oder Summen unendlicher Reihen darstellen lassen.

Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Wertebereich in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der Funktionentheorie.

Die Methoden der Analysis sind in allen Naturwissenschaften von großer Bedeutung.

Differentialrechnung

In der Differentialrechnung haben wir es mit unendlich kleinen Größen zu tun. Bei einer Geraden

g(x) = mx + c

heißt m die Steigung und c der y-Achsen-Abschnitt der Geraden. Hat man nur 2 Punkte (x₀,y₀) und (x₁,y₁) auf einer Geraden, so kann die Steigung berechnet werden durch

.

Bei Funktionen wie z.B. f(x) = x² kann die Steigung so nicht mehr berechnet werden, da die Kurve eben keine Gerade ist. Jedoch kann man an einen Punkt (x₀,f(x₀)) eine Tangente legen, die wieder eine Gerade darstellt. Die Frage ist nun, wie man die Steigung einer solchen Tangente an einer Stelle x₀ berechnen kann. Wählt man jetzt eine Stelle x₁ ganz nahe bei x₀ und legt eine Gerade durch die Punkte (x₀,f(x₀)) und (x₁,f(x₁)), so ist die Steigung dieser Sekante nahezu die Steigung der Tangente. Die Steigung der Sekante ist (s.o.)

.

Diesen Quotienten nennt man den Differenzenquotient. Wenn wir nun die Stelle x₁ immer weiter an x₀ "ranschieben", so erhalten wir per Differenzenquotient die Steigung der Tangente. Wir schreiben

und nennen dies die Ableitung oder den Differentialquotienten von f in x₀. Der Ausdruck bedeutet, dass x immer weiter an x₀ "rangeschoben" wird, bzw. dass der Abstand zwischen x und x₀ "unendlich klein" wird. Wir sagen auch: "x geht gegen x₀". Die Bezeichnung steht für Limes, was aus dem Lateinischen kommt und "Grenzwall" bedeutet. nennt man einen Grenzwert.

Es gibt auch Fälle, in denen dieser Grenzwert nicht existiert. Deswegen hat man den Begriff Differenzierbarkeit eingeführt. Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x₀, wenn der Grenzwert existiert.

Integralrechnung

Die Integralrechnung befasst sich anschaulich mit der Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen. Diese Fläche kann durch eine Summe von Teilflächen approximiert werden, und geht im Grenzwert in das Integral über.

Die anschauliche Darstellung (die Flächenberechnung mittels Ober- und Untersummen) entspricht der klassischen Schulmathematik. In der so genannten "höheren Analysis" werden Integrale über das Maß der Definitionsmenge berechnet (Lebesgue-Integral).

Hauptsatz der Analysis

Differentialrechnung und Integralrechnung verhalten sich nach dem Hauptsatz der Analysis invers zueinander.

Viele Lehrbücher unterscheiden zwischen Analysis in einer und Analysis in mehreren Dimensionen. Diese Differenzierung berührt nicht die grundlegenden Konzepte, allerdings gibt es in mehreren Dimensionen eine reichere mathematische Vielfalt.

weitere Gebiete der Analysis

• Funktionen mit komplexen Veränderlichen (Komplexe Analysis oder auch Funktionentheorie)
• Differentialgleichungen
• Variationsprobleme
• Unendlichdimensionale Funktionenräume (Funktionalanalysis)
• Vektoranalysis
• harmonische Analysis
• Nichtstandardanalysis