In der Mathematik ist eine algebraische Zahl x eine komplexe Zahl, die Nullstelle eines Polynoms

mit rationalen Koeffizienten ist, also Lösung der Gleichung f(x) = 0 ist.

Eine komplexe Zahl, die nicht algebraisch ist, heißt transzendent.

Jede rationale Zahl ist algebraisch, denn die Zahl a/b ist Lösung der Gleichung x - a / b = 0.

Oft schränkt man sich auf Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten ein, was aber keinen Unterschied macht, da jedes Polynom mit rationalen Koeffizienten durch Multiplikation mit dem Hauptnenner der Koeffizienten in ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten überführt werden kann, das dieselben Nullstellen hat.

Lässt man rationale Koeffizienten zu, kann man das Polynom f normieren, indem man es durch den Koeffizienten a_n teilt. Nullstellen von normierten Polynomen, deren Koeffizienten ganzzahlig sind, nennt man algebraische Ganzzahlen.

Man kann den Begriff der algebraischen Zahl zu dem des algebraischen Elements erweitern, indem man die Koeffizienten des Polynoms statt aus , aus einem beliebigen Körper entnimmt. Zu anderen Bedeutungen des Wortes algebraisch siehe Algebra. Vergleiche auch das Glossar mathematischer Attribute.

Grad und Minimalpolynom einer algebraischen Zahl

Für viele Untersuchungen algebraischer Zahlen ist der im folgenden definierte Grad und das Minimalpolynom einer algebraischen Zahl wichtig.

Ist x eine algebraische Zahl, die der algebraischen Gleichung

mit , , aber keiner derartigen Gleichung geringeren Grades, dann nennt man n den Grad von x.

Die Zahl n ist gleichzeitig der Grad des Polynoms f, dem so genannten Minimalpolynom von x.

Beispiele

Beispielsweise ist die Wurzel aus 2 eine algebraische Zahl, denn sie ist eine Lösung der Gleichung x² - 2 = 0. Ebenso ist i als Lösung von x² + 1 = 0 algebraisch.

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurde bewiesen, dass die Kreiszahl ? und die Eulersche Zahl e nicht algebraisch sind. Von anderen Zahlen, wie zum Beispiel ? + e, weiß man bis heute nicht, ob sie algebraisch oder transzendent sind. Siehe dazu den Artikel Transzendente Zahl.

Eigenschaften

Algebraische Zahlen lassen sich, im Gegensatz zu transzendenten Zahlen, als periodische Kettenbrüche darstellen.

Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar.

Die Menge der algebraischen Zahlen bildet einen Körper.

Der Körper der algebraischen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen, d. h. jedes Polynom mit algebraischen Koeffizienten besitzt nur algebraische Nullstellen. Dieser Körper ist der kleinste algebraisch abgeschlossene Oberkörper von , und ist damit der algebraische Abschluss von .

Oberhalb des Körpers der rationalen Zahlen und unterhalb des Körpers der algebraischen Zahlen befinden sich unendlich viele Zwischenkörper; etwa die Menge aller Zahlen der Form a + b * q, wobei a und b rationale Zahlen sind, und q die Quadratwurzel einer rationalen Zahl r ist. Auch der Körper der mit Zirkel und Lineal aus {0,1} konstruierbaren Punkte der komplexen Zahlenebene ist ein solcher algebraischer Zwischenkörper.

Im Rahmen der Galoistheorie werden diese Zwischenkörper untersucht, um so tiefe Einblicke über die Lösbarkeit oder Nicht-Lösbarkeit von Gleichungen zu erhalten. Ein Resultat der Galoistheorie ist, dass zwar jede komplexe Zahl algebraisch ist, die man aus rationalen Zahlen durch Verwendung der Grundrechenarten +,-,*,/ und Ziehen n-ter Wurzeln (n eine natürliche Zahl) erhalten kann (man nennt solche Zahlen "durch Radikale darstellbar"), umgekehrt aber algebraische Zahlen existieren, die man nicht in dieser Weise darstellen kann; alle diese Zahlen sind Nullstellen von Polynomen des Grades ? 5.

Algebraische Zahlen, die sogar Nullstellen eines normierten Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sind, heißen algebraische Ganzzahlen. Die algebraischen Ganzzahlen, die rational sind, sind genau die ganzen Zahlen. Die algebraischen Ganzzahlen bilden einen Unterring der algebraischen Zahlen.

Siehe auch

Georgij Feodosewitsch Voronoj