In der Grundlagenmathematik (speziell in der Mengenlehre) werden zwei Erscheinungsformen des Unendlichen unterschieden: das aktuell (oder abgeschlossene) Unendliche und das potentiell Unendliche. Die Legitimität des Ersteren wird von manchen Mathematikern (insbesondere Konstruktivisten) bestritten oder relativiert.

Die Kernfrage ist, ob und inwiefern Mengen unendlicher Kardinalität real existent und damit legitime Begriffe sind. Endliche (finite) Mengen lassen sich aus ihren Elementen aufbauen und mittels Auflistung all dieser vollständig hinschreiben. Zum Beispiel kann man jede Menge der Form (n ist eine beliebige natürliche Zahl) ausschreiben. Diese Mengen sind beliebig groß, jedoch jede für sich endlich. Dies ist die potentielle Unendlichkeit.

Hingegen kann die Menge aller natürlichen Zahlen niemals vollständig ausgeschrieben werden. Auch beinhaltet sie Zahlen, die noch nie erdacht worden sind. Konstruktivisten lehnen die Existenz dieser Menge ab und ihren Gebrauch in mathematischen Beweisen, da ihr Abschluss (ihre Aktualität) nie erreicht werden kann. Alternativ sollen alle Beweise sich nur auf endliche Mengen stützen.

Siehe auch: Auswahlaxiom, Finitismus, Rekursion, Vollständige Induktion.