Konkrete Beispiele

Bei den reellen Zahlen ist der Betrag der Zahl die Zahl selbst, wenn sie positiv oder Null ist:

| x | = x. (Beispiel: | 3 | = 3)

Wenn die Zahl negativ ist, gilt:

| x | = - x. (Beispiel: | - 4 | = - ( - 4) = 4)

Man kann den Betrag auch als Entfernung der Zahl vom Nullpunkt auf der Zahlengerade ansehen.

Bei komplexen Zahlen

Übertragen auf komplexe Zahlen ist der Absolutbetrag einer Zahl z = a + ib die Entfernung dieser Zahl vom Ursprung der Gaußschen Zahlenebene. Für die komplexe Zahl z ist

.

Betrag und Metrik

Über den Betrag kann man eine Abstandsfunktion (Metrik) definieren: Der Abstand d(x,y) zweier Zahlen x, y ist der Betrag ihrer Differenz |x - y|.

Ist der Betrag nichtarchimedisch (siehe unten), dann ist die erzeugte Metrik eine Ultrametrik.

Beispiele

|x+3| = 5 Gesucht ist x

1. x + 3 = 5

• daraus folgt x = 2

2. -(x + 3) = 5

• daraus folgt - x - 3 = 5
• daraus folgt - x = 8
• daraus folgt x = - 8

Verallgemeinerung: Norm

Der Absolutbetrag ist eine spezielle Norm; den Begriff Norm kann man als eine Verallgemeinerung des Absolutbetrags verstehen.

Verallgemeinerung: Betrag und Bewertung

Verallgemeinert spricht man von einem Betrag, wenn eine Funktion |·| von einem Körper K in die reellen Zahlen folgende Eigenschaften erfüllt:

1. |x| ? 0 für alle x und |x| = 0 genau dann, wenn x = 0.

2. |x|·|y| = |x·y| für alle x, y

3. |x + y| ? |x| + |y| (die Dreiecksungleichung)

Gilt zudem

4. |x + y| ? max{|x|,|y|}

so spricht von einem nichtarchimedischen, andernfalls von einem archimedischen Betrag. Die oben genannte Betragsfunktion auf den reellen bzw. komplexen Zahlen ist archimedisch. Da 3. aus 4. folgt, nennt man 4. auch die verschärfte Dreiecksungleichung. Nichtarchimedische Beträge spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der p-adischen Zahlen.

Hat man einen nichtarchimedischen Betrag |·|, und wählt eine positive reelle Zahl b, dann hat die Funktion v: K ? R ? {?} mit v(x) = - log_b( | x | ) für x?0 und v(0)=?? folgende Eigenschaften:

1. v(x) = ?? genau dann, wenn x = 0.

2. v(x·y) = v(x) + v(y) für alle x, y

3. v(x + y) ? max{v(x), v(y)}

Eine Funktion v: K ? R ? {?} mit diesen drei Eigenschaften nennt man eine Bewertung auf K.

Umgekehrt kann man einer Bewertung v einen nichtarchimedischen Betrag zuordnen, indem man für eine positive reelle Zahl b setzt: |x| = b^?v(x).

Weblink

• http://www.mmnetz.de/huseyin/betragsfunktion.pdf Kurvendiskussion einer Funktion mit Beträgen am Beispiel von f(x) = | 17x⁵ - 16 | .