Man beachte die anderen Bedeutungen des Wortes Algebra in der Mathematik.

Manche Autoren definieren eine Algebra über einem Ring oder Körper als assoziativ. In der Wikipädie unterscheiden wir dagegen zwischen allgemeiner A-Algebra und Assoziativer Algebra.

Eine A-Algebra ist, je nach genauer Definition,

• ein Vektorraum B=V über einem Körper A=K (auch K-Algebra oder Vektorraum-Algebra) oder
• ein Modul B=M über einem Ring A=R (auch R-Algebra oder Modul-Algebra),

auf dem eine mit der Modulstruktur vereinbare innere Multiplikation B×B?B definiert ist. Diese innere Multiplikation (mit Werten in B) ist nicht zu verwechseln mit dem Skalarprodukt (mit Werten in A=K), das in einer K-Algebra definiert sein kann, aber nicht muss.

Definitionen

Es wird gefordert, dass die innere Multiplikation ° eine Bilinearform ist; das heißt:

• (x + y) ° z = (x ° z) + (y ° z)
• x ° (y + z) = (x ° y) + (x ° z)
• (ax) ° y = a (x ° y)
• x ° (by) = b (x ° y)

für alle Skalare a, b in A und alle Vektoren x, y und z in B.

Einige Spezialfälle

• Eine assoziative Algebra ist eine Algebra, in der für die Multiplikation das Assoziativgesetz gilt.

• Eine kommutative Algebra ist eine Algebra, in der für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt.

• Eine Lie-Algebra ist eine Algebra, in der für die Multiplikation dieJacobi-Identität sowie x ° x = 0 gilt.

• Eine Divisionsalgebra ist eine Algebra, in der man "dividieren" kann.