In der Mathematik ist eine Äquivalenzrelation eine Beziehung (Relation) zwischen Elementen einer Menge, die bestimmte Eigenschaften der "Gleichheit" verallgemeinert. Das bekannteste Beispiel bilden die rationalen Zahlen: Zwei Brüche a/b und c/d sind äquivalent (repräsentieren dieselbe rationale Zahl), wenn die Gleichung ad = bc gilt.

Definition

Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation auf einer nichtleeren Menge M, welche folgende Bedingungen erfüllt:

• Reflexivität:
• Symmetrie:
• Transitivität:

(Es gilt dann .)

Für ein Äquivalenzrelation schreibt man üblicherweise statt oder . Die drei Eigenschaften lassen sich dann so aufschreiben:

Ferner definiert man für eine Äquivalenzrelation für jedes Element a von M die so genannte Äquivalenzklasse von a in M:

lies: die Äquivalenzklasse von a ist definiert als die Menge aller b aus M für die gilt, a ist äquivalent zu b

a ist der Repräsentant der Äquivalenzklasse [a]. Die Menge der Äquivalenzklassen ist

Eigenschaften

Erläuterung

Durch eine Äquivalenzrelation wird eine Menge in Äquivalenzklassen zerlegt.

Siehe auch Äquivalenz und Partition.

(bitte erweitern)

Beispiele

1. Gleichheit auf beliebiger Menge S
2. Menge Z der ganzen Zahlen, mit a ~ b genau dann, wenn a und b denselben Rest bei Division durch 5 haben
3. Menge M der Schüler auf einer Schule, mit a ~ b genau dann, wenn die Schüler a und b in dieselbe Klasse gehen

Die zugehörigen Äquivalenzklassen sind:

1. die Menge aller einelementigen Teilmengen von S; sie lässt sich umkehrbar eindeutig (bijektiv) auf die Menge S selbst abbilden
2. die Menge {5Z, 5Z+1, ..., 5Z+4}, geschrieben als Z/5Z, ein Restklassenring
3. die Menge, deren Elemente jeweils alle Schüler einer Klasse sind; sie lässt sich eineindeutig auf die Menge aller Klassen der Schule abbilden