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Parasit
Anmeldungsdatum: 10.06.2006
Beiträge: 2
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 Verfasst am: Sa Jun 10, 2006 10:24 pm Titel: Kurvendiskussion |
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hallo,
habe folgende aufgabe in der klausur bekommen:
Für welchen Wert von a scheidet der Graph der Funktion die positive x-Achse unter einem Winkel von 45°?
f(x)=x³-6*a²*x
irgendwie hab ich hin und her gerechnet (gleichsetzen,p-q,etc.) doch es kommt nix vernünftiges raus.
Hoffe ihr könnt mir helfen!
mfg
parasit |
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stefan
Moderator
Anmeldungsdatum: 31.12.2004
Beiträge: 498
Wohnort: nahe Hannover
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| Verfasst am: So Jun 11, 2006 6:11 am Titel: |
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Hallo parasit,
erzähl doch mal genauer, was Du alles gerechnet hast und - das ist noch viel wichtiger - warum Du das gerechnet hast. Denn nur weil in einer Funktion ein ^2 vorkommt, muss man nicht automatisch die p-q-Formel durchexerzieren. Besser ist, zunächst mal zu überlegen, was alles nötig ist.
Bevor ich ein a so wählen kann, dass ein bestimmter Winkel im Schnittpunkt vorliegt, muss ich erstmal den Schnittpunkt bestimmen. Der wird sicherlich von a abhängen, also bestimmt man ihn erst einmal für ein beliebiges a. Hast Du das schon gemacht? Was hast Du raus?
Als nächster Schritt muss man sich klar machen, was der Winkel bedeutet. Welchen Zusammenhang kennst Du dafür?
Viele Grüße
Stefan
_________________
--- alle Angaben ohne Gewähr! ---
Ich beantworte keine Fragen per E-Mail, bitte stellt eure Probleme in das entsprechende Forum. |
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Parasit
Anmeldungsdatum: 10.06.2006
Beiträge: 2
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| Verfasst am: So Jun 11, 2006 11:45 am Titel: |
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| Code: | 0=x³-6a²x
1=3x²-6a²
x=wrz(6)*a
x=wrz( 2a+1/3 )
x=x
6*a²=2a+1/3
0=a²-1/3a-1/18 | p-q
x1/2=1/6+-wrz( 3/36 )
x1=-0,122
x2=0,4553
da ja man nur auf der positiven x-Achse sucht, nur x2 weiterverwenden.
f'(x)=1=3*(0,4553)²-6a²
a= wrz( ( 3*(0,4553)²-1 )/6 )
a= wrz( -0,063 )
=> es gibt kein a für 45°. |
ist aber falsch, habe deswegen ne 2 bekommen... hmmm
| Zitat: | | Als nächster Schritt muss man sich klar machen, was der Winkel bedeutet. Welchen Zusammenhang kennst Du dafür? |
janee  , ich weiß schon tan(45)=f'(x)=m... mathe kann ich einigermaßen, nur dass die aufgabe falsch ist, verwirrt mich. 
mfg
parasit |
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stefan
Moderator
Anmeldungsdatum: 31.12.2004
Beiträge: 498
Wohnort: nahe Hannover
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| Verfasst am: So Jun 11, 2006 1:08 pm Titel: |
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Hallo!
| Zitat: | | janee , ich weiß schon tan(45)=f'(x)=m... mathe kann ich einigermaßen, nur dass die aufgabe falsch ist, verwirrt mich. |
Wenn ich ehrlich sein soll, ist "einigermaßen" aber ziemlich übertrieben bei dem, was Du im folgendes alles durcheinanderwürfelst...
Ich habe mal die Zeilen nummeriert, um darauf Bezug nehmen zu können:
| Zitat: | | Code: | 00 0=x³-6a²x
01 1=3x²-6a²
02 x=wrz(6)*a
03 x=wrz( 2a+1/3 )
04 x=x
05 6*a²=2a+1/3
06 0=a²-1/3a-1/18 | p-q
07 x1/2=1/6+-wrz( 3/36 )
08 x1=-0,122
09 x2=0,4553
10 da ja man nur auf der positiven x-Achse sucht,
11 nur x2 weiterverwenden.
12 f'(x)=1=3*(0,4553)²-6a²
13 a= wrz( ( 3*(0,4553)²-1 )/6 )
14 a= wrz( -0,063 )
15 => es gibt kein a für 45°. |
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Bei der Umformung von Zeile 01 nach 03 ist das Quadrat verloren gegangen:
| Code: | 1 = 3x^2 -6a^2 <=>
3x^2 = 1+6a^2 <=>
x^2 = (1+6a^2)/3 <=>
x = +- sqrt((1/3)+2a^2) |
In Zeile 06 erhältst Du nach dem Gleichsetzen eine quadratische Gleichung in a. In Zeilen 07-09 löst Du diese jedoch unter Verwendung von x. Das ist falsch und verwirrend, denn...
...in Zeile 10/11 interpretierst Du diesen Wert als x-Wert. Es handelt sich aber ja um den gesuchten Parameter a und darüber, ob er positiv oder negativ ist, bestimmt die Aufgabe nichts.
Du hast übrigens schon in Zeile 02 (leider sehr verkürzt) versucht, die Schnittstelle mit der positiven X-Achse zu kennzeichnen. Doch 1. x = - sqrt(6)*a und x = 0 sind ebenfalls Nullstellen und 2. ist sqrt(6)*a nur dann positiver Schnittpunkt, wenn auch a positiv ist. Für negative a ist es - sqrt(6)*a. Eine Fallunterscheidung ist also nötig!
Eigentlich wärst Du an dieser Stelle fertig gewesen - Du hast zwei Werte für a bestimmt, bei denen der Schnittwinkel an der positiven Nullstelle 45° ist. Stattdessen setzt Du diese Parameterwerte für x in die Steigungsgleichung (1. Ableitung) ein, um nun (noch einmal) das übrige a zu bestimmen.
Zusammengenommen ist zwar ein richtiger Ansatz da, aber doch sehr viele systematische Fehler und ein schwerwiegender Flüchtigkeitsfehler. Ich hätte vermutlich max. 20% der möglichen Punkte gegeben.
Eine vollständige Lösung könnte so aussehen:
| Code: | f(x) := x³ -6a²x = x (x - a*sqrt(6)) (x + a*sqrt(6))
f(x) = 0 <=> x = 0 oder x = +- a*sqrt(6)
f'(x) = 3x² -6a²
Fallunterscheidung: für a > 0 ist bei x = a*sqrt(6)
der Schnittpunkt mit der positiven x-Achse
f'( a*sqrt(6) ) = tan 45° = 1
<=> 3*(a*sqrt(6))² -6a² = 1
<=> 18a² -6a² = 1
<=> 12a² = 1
<=> a² = 1/12
<=> a = +- 1/sqrt(12)
Da a > 0, folgt: a = 1/sqrt(12)
Fallunterscheidung: für a < 0 ist bei x = - a*sqrt(6)
der Schnittpunkt mit der positiven x-Achse
f'( -a*sqrt(6) ) = tan 45° = 1
<=> 3*(-a*sqrt(6))² -6a² = 1
<=> 18a² -6a² = 1
<=> 12a² = 1
<=> a² = 1/12
<=> a = +- 1/sqrt(12)
Da a < 0, folgt: a = -1/sqrt(12) |
Zusammengenommen sind die beiden Lösungen a = +- 1/sqrt(12), was man durch eine Probe absichern sollte.
Viele Grüße
Stefan
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kram1032
Anmeldungsdatum: 19.03.2006
Beiträge: 26
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| Verfasst am: Sa Okt 21, 2006 12:49 pm Titel: |
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=+-1/sqrt(3*2²)
=+-1/(2*sqrt(3))!
Das müsste das endgültige ergebniss sein, oder? |
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stefan
Moderator
Anmeldungsdatum: 31.12.2004
Beiträge: 498
Wohnort: nahe Hannover
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| Verfasst am: Sa Okt 21, 2006 3:22 pm Titel: |
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Ich persönlich sehe zwar nicht, warum man das machen muss, aber die Umformung ist richtig.
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