Differenzieren und Integrieren:

[Sascha]

Hi liebe Physikfreunde. Im Zuge meines Biostudiums muss ich mich mit Physik auseinandersetzen. Ich komme mit einigen Aufgaben zurecht, aber für Diese habe ich nicht mal einen Ansatz. Habt ihr einen Link oder eine Antwort, die mein Problem löst?



1. Differenzieren Sie folgende Funktionen nach ihrer jeweiligen Variable:

s(t) = a/2 t2;
E(h) = m g h ;
y(x) = sin(x) ;
E(v) = 0.5 mv2 ;
W(s) = m a s

2. Geben Sie die bestimmten Integrale der Funktionen unter (a)
in den Grenzen 0 bis Variable0 > 0 (z.B. 0 bis t0 >0) an

[stefan]

Hallo Sascha,

eigentlich ist das ganze ja gar keine Physik, sondern Mathematik. Es geht um das Ableiten und Integrieren von Funktionen, der Querbezug ist, dass die Funktionen Physikalische Sachverhalte darstellen und die Ableitung oder Stammfunktion in den meisten Fällen einer bestimmten physikalischen Interpretation entspricht.

Fangen wir mal mit der ersten an:

s(t) = a/2 t2

soll mit ziemlicher Sicherheit

s(t) = (a/2) * t^2

heißen.

Da man hier im Editor keine Brüche und Hochzahlen so einfach hinbekommt, sollte man etwas großzügiger mit Klammer um den ^ für "hoch" umgehen.

Die Funktion gibt den Weg (s) in Abhängigkeit von der Zeit (t). Deshalb steht da s(t) = ...
Aus der Mathematik kennst Du Funktionen in der Form f(x) = ...
Dort haben "nach x" abgeleitet, nun ist t die Variable. a (physikalisch die Beschleunigung) ist ein Faktor, der konstant bleibt, wir können ihn behandeln, wie eine beliebige Zahl, nur dass wir eben die genaue Größe nicht kennen.

Was kennst Du denn für Ableitungsregeln? Streng mathematisch ist die Ableitung der Übergang von Differenzenquotienten zum Differentialquotienten, doch nachdem man das einmal hergeleitet und bewiesen hat, bleiben nur noch eine Handvoll Regeln übrig, nach denen man vorgeht.
Welche fällt Dir für diese Aufgabe ein?

Gruß
Stefan
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[Sascha]

Hi Stefan


Danke für die schnelle Antwort. Ich hatte eben eine Antwort verfasst. Leider musste Firefox beim Absenden abstürzen und alles war dahin.

Argg.

Also nochmal in der kurzen Fassung: Bei allen Überlegungen zu den Ableitungen spuckt ein Gedanke in meinem Kopf herum.

Wenn man zum Bsp. ein s-t-Diagramm ableitet, kommt man zum V-t-Diagramm und nach nochmaligem Ableiten zum a-t-Diagramm. Der Sinn und die Logik ist mir klar, nur mathematisch kann ich es nicht nachvollziehen:

a(t)= d(V) /d(t) = d^2(s) /d(t^2)

Warum und vor allen Dingen wie wird V zu s?

2. s(t) = (a/2) * t^2

Es müßten hier doch eigentlich die Quotientenregel, Produktregel und die Potenzenregel angewendet werden. t ist die Variable. Aber nach dem Bsp. oben, kann doch a nicht als bel. Zahl verwendet werden? Muss in den Ableitungen nicht zwangsläufig V wieder auftauchen?

Danke im Voraus


Sascha

[stefan]

[quote="Sascha"]Wenn man zum Bsp. ein s-t-Diagramm ableitet, kommt man zum V-t-Diagramm und nach nochmaligem Ableiten zum a-t-Diagramm. Der Sinn und die Logik ist mir klar, nur mathematisch kann ich es nicht nachvollziehen:

a(t)= d(V) /d(t) = d^2(s) /d(t^2)

Warum und vor allen Dingen wie wird V zu s?[/quote]

Bitte schreib ein kleines "v" für die Geschwindigkeit.
Mathematisch kann man das nicht ablesen. Es ist eben die physikalische Interpretation, dass die zweite Ableitung der Zeit-Weg-Funktion die Zeit-Beschleunigungsfunktion ist.
Am besten macht man es sich vielleicht mit der sprachlichen Umschreibung klar:
Die Ableitung gibt an, wie stark die abhängige Größe bei infinitesimaler (gegen 0 laufender) Änderung der unabhängigen Größe verhält (mathematisch: Steigung in einem Punkt). Die erste Ableitung des Weges ist also die Änderung des Wegs pro Zeit. Das ist aber unmittelbar einsichtig die Geschwindigkeit.
Die Änderung einer Geschwindigkeit (wie stark steigt die Geschwindigkeit) ist auch wieder unmittelbar als Beschleunigung zu erkennen. Die Ableitung von der ersten Ableitung ist aber die zweite Ableitung. Deshalb ist s'' = v' = a