Funktion mit genau 2 Nullstellen

[Blümchen]

Ich hoffe ihr helft mir, auch wenn ihr euch leicht unterfordert fühlt! Aber ich hab noch nie verstanden,wie man dass hier löst:

Bestimmen Sie t [R] so, dass die Fukntion genau zwei Nullstellen besitzt:

ft (x) = x^3 - 2x^2 + tx = 0

Danke im Vorraus!

[stefan]

was soll das [R]? ist gemeint "t ist Element von R"?

Du kannst aus deiner Funktion ft (x) = x^3 - 2x^2 + tx ein x ausklammern:

ft(x) = x(x^2 - 2x + t)

So siehst du, die erste von drei möglichen Nullstellen ist 0.

Dann lautet die Bedingung, dass der zweite Faktor (x^2 - 2x + t) nur noch eine Nullstelle haben darf, denn eine ist ja schon weg.

Jetzt versuch mal dieses Polynom zu faktorisieren. Ein Beispiel: das Polynom (x^2 -5x +6) = (x-3)(x-2). Da kann man die zwei Nullstellen 3 und 2 ablesen. In unserem Beispiel soll bei dieser Faktorisierung nur noch eine Nullstelle rauskommen. Wie könnte das gehen?

Bitte denk mal etwas drüber nach und poste dann deinen Lösungsansatz - anschließend geht's weiter mit der Hilfe. Wenn du noch keine Idee hast, schau mal in deiner (oder in dieser ) Formelsammlung unter binomischen Formeln nach.

[Blümchen]

äh...
hää??
ist die zweite nullstelle zufällig 1?

[stefan]

nö, zufällig sicher nicht...

die Faktorisierung von (x^2 - 2x + t) passiert so:

(x^2 - 2x + t) = (x-a)(x-b), dann sind a und b die weiteren Nullstellen. Es soll aber nur eine weitere Nullstelle geben, daher muss gelten a = b, diese eine Nullstelle lässt beide Faktoren gleichzeitig null werden, also:

(x^2 - 2x + t) = (x-a)(x-a)
oder geschrieben als:

(x^2 - 2x + t) = (x-a)^2
und daher mein Hinweis auf die binomischen Formeln...

(x^2 - 2x + t) = x^2 -2ax + a^2
nun sind aber zwei Polynome gleich, wenn die Koeffizienten (also die Zahlen vor den Potenzen von x) gleich sind.
Also (das Wort Code ist nur dazu da, um eine einigermaßen Tabelle hinzukriegen):

[Blümchen]

danke für die mühe, ich habs gecheckt.
dass t=1 sein müsste hab ich vertsanden gehabt,aber nicht wie man drauf kommt..
dankeschön

[stefan]

bitte.

Um dich übrigens vollends zu verwirren: es ist Zufall, dass sowohl t=1 und auch die zweite Nulllstelle a=1 ist! Die können durchaus auch verschieden sein, rechne das ganze mal für
ft (x) = x^3 - 4x^2 + tx
aus!
Was kommt hier für t raus, wenn es ebenfalls genau zwei Nullstellen gibt?

[Blümchen]

[stefan]