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| :: Das Formelsammlung Forum |
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Gast
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 Verfasst am: Do Jan 06, 2005 6:59 pm Titel: quader maximieren und minimieren |
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Leute, helft mir bitte unbedingt!!!
Ich soll beweisen, dass ein Quader mit dem Rauminhalt von 1cm³ verschieden großen Flächeninhalte haben kann. Also auf Deutsch gesagt, soll ich beweisen, bei welchem Flächeninhalt der Quader die größte und bei welchem er die kleinste Fläche hat, der Rauminhalt soll allerdings immer 1cm³ sein. Wie errechne ich das denn???
Auf die Formel 1=a*b*c bin ich schon gekommen, aber weiter???
Einen dicken Kuss gibt’s für jeden, der mir hilft...
Steffi aus Köln |
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Gast
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| Verfasst am: Do Jan 06, 2005 10:08 pm Titel: |
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probiers mal mit 2*(a+b*a+c*b+c) und dann deine quadratmeter zahl Bitteschön hoffe hat dir was gebracht!!!  |
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stefan
Moderator
Anmeldungsdatum: 31.12.2004
Beiträge: 498
Wohnort: nahe Hannover
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| Verfasst am: Do Jan 06, 2005 11:48 pm Titel: |
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| Anonymous hat Folgendes geschrieben: | | probiers mal mit 2*(a+b*a+c*b+c) und dann deine quadratmeter zahl |
Ich versteh nicht so ganz, was genau du damit meinst, vor allem mit "und dann deine quadratmeterzahl"...
Sie hat ja gar keine Quadratmeterzahl, sondern eine Kubikmeterzahl (Volumen ist gegeben).
Dein Ansatz geht aber in die richtige Richtung:
Während V = abc = 1cm
ist A = 2(ab+bc+ac) der Flächeninhalt der Oberfläche des Quaders. Zur Erläuterung: es gibt sechs Seitenflächen, die beiden die sich gegenüberliegen, sind gleich groß. Und um die drei verschiedenen Flächen zu finden, muss ich jede Seitenlänge einmal mit jeder anderen Seitenlänge kombinieren.
In diesem speziellen Fall führt die Nebenbedingung mit dem Volumen, als V = abc, dazu, dass A = 2(a+b+c) wird. Beweisen kann ich das leider noch nicht...
Nun weiter in der Aufgabe: Der Beweis, dass es verschiedene Oberflächen geben kann, ist nicht schwierig. Dazu genügt es, zwei Quader anzugeben, die einen unterschiedlichen Flächeninhalt haben. Das wäre ein ausreichender gültiger Beweis, man nennt diese Art von Beweis Widerspruchsbeweis.
Um zwei verschiedene Quader zu finden, probier mal aus mit a = 1 und b und c wählst du zweimal verschieden (aber natürlich so, dass immer noch abc = 1, also 1*bc = 1).
Nun wird es eine Ecke schwieriger. Deshalb interessiert mich mal, in welchem Rahmen du diese Aufgabe bearbeitest, denn meiner Meinung nach ist das, was jetzt kommt Uni-Mathematik und wird in der Schule in dieser Form meistens nicht oder nur am Rande des Mathe-LK behandelt.
Grundsätzlich handelt es sich hier um Extremwertaufgaben, wir suchen ein maximum (den Quader mit dem größten Flächeninhalt) oder ein Minimum (kleinster...).
Dazu stellt man den Zusammenhang in einer Funktion dar. In der Kurvendiskussion lernt man, dass an Extrempunkten nun gerade die Ableitung der Funktion null wird und die zweite Ableitung verschieden von null ist. Wir müssen also unsere Funktion
A(a,b,c) = 2(ab+bc+ac) ableiten und da ist der Brocken, denn die die Funktion hängt von mehreren Veränderlichen ab und wir haben in der Schule nur nach einer ("x") abgeleitet, also A(x) oder f(x).
Ich muss gestehen, dass ich da nicht firm drin bin.
Irgendwie spielen die partiellen Ableitungen eine Rolle, bei denen zwei der drei Variablen als Konstanten aufgefasst werden und nach der dritten wird abgeleitet. Das führt zu drei Ableitungen:
1. A'(a) = b+c
2. A'(b) = a+c
3. A'(c) = a+b
Ich würde jetzt argumentieren, dass diese drei Ableitung gleichzeitig (also für das gleiche a, b und c) null werden müssen, was auf ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten führt:
0 = b+c
0 = a+c
0 = a+b
Und ab da komme ich nicht weiter. Ich glaube übrigens, dass es nicht nur einen Quader mit der kleinsten Oberfläche und nicht nur einen Quader mit der größten Oberfläche gibt, weil wir vom Ausgangspunkt zwar drei Variablen (a, b, c) aber nur zwei Gleichungen haben (Volumenformel und Flächenformel). Bei einer solchen Konstellation gibt es keine eindeutige Lösung, sondern nur eine Lösungsmenge, bei eine Variable in Abhängigkeit von einer anderen ausgedrückt wird.
Was ich noch sagen wollte - schau mal hier:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=1324 |
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