Zinsrechnung

[irene]

Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:
Doris zahlt drei Jahre hintereinander jeweils zum Anfang des Jahres einen gleich bleibenden Geldbetrag bei ihrer Bank ein.Der jährliche Zins beträgt 3,25%.Zinsen werden mitverzinst. Nach Ablauf der drei Jahre hat sie ein Guthaben von 5438,74 DM. Wie hoch war der jährlich eingezahlte Betrag?
In den Lösungen steht folgende Berechnung:
Gesucht: jährlicher Betrag x
((x mal 1,035 + x) mal 1,035 +x) mal 1,035 = 5438,74 / :1,035
2,035x mal 1,035 +x = 5254,82
x= 17000 DM.
1.Frage: Wie kommt man auf diese merkwürdige 1,035?
2.Frage: Warum kann ma die Gleichung durch 1,035 teilen? In der ersten Klammer steht eine Summe,ich dachte,aus Summen dürfte man nichts herauskürzen.
3.Frage: Gibt es Formeln,die man bei allen Zinsrechnungen anwenden kann? (Ich habe leider keine Formelsammlung)

[stefan]

Hallo Irene,

1,035 ist der Zinsfaktor q.
p ist der Zinssatz (3,5%).

q = 1+p
q = 1+3,5% = 1+0,035 = 1,035

(3,5% = 0,35, weil Prozent gerade bedeutet "pro Hundert", also so viel wie: "geteilt durch 100" und 3,5 durch 100 = 0,035.)

Der Zinsfaktor q bedeutet folgendes:
Wenn du ein Kapital c hast, sagen wir 500 Euro und einen Zinssatz von 10% p.a., dann werden aus den 500 Eur nach einem Jahr:

500 (die waren eingezahlt) plus die Zinsen für 500 Eur
die Zinsen für 500 Eur sind: 500 Eur · 10% = 500 · (10:100) = 500 · 0,10
Zusammen also: 500·1 + 500·0,10 = 500·1,10 = 550



Hier siehst du, wie sich das Kapital K_n jeweils am Anfang des Jahres (n = das Jahr, x = der eingezahlte Betrag) verhält:

K_0 = x
K_1 = 1,035·x + x
K_2 = 1,035·(1,035·x + x) + x
K_3 = 1,035·(1,035·(1,035·x + x) + x)
(fettgedruckt ist immer das, was im letzten Jahr schon vorhanden war)

K_3 ist in der Aufgabe genannt: 5438,74 DM, daher:

5438,74 = 1,035 · [1,035·(1,035·x + x) + x] | :1,035
5254,82 = [1,035·(1,035·x + x) + x]
5254,82 = [1,035·(2,035·x) + x]
5254,82 = [2,106225·x + x]
5254,82 = [3,106225·x] | : 3,106225
1691,71 = x

Beachte in dieser Rechnung das Malzeichen (fettgedruckt) in der ersten Zeile. Du hast zwar in den eckigen Klammern eine Summe mit drin, aber du teilst die 1,035, die vor der Klammer stehen. Deshalb ist das erlaubt.


Es gibt viele verschiedene Aufgaben für verschiedene Arten von Zinsrechnung. Stell dir mal vor, der jährlich gezahlte Betrag wäre jedes Jahr nur halb so groß wie im Vorjahr. Dann wäre die Formel sofort ganz anders. Deshalb gibt es nicht für jede Aufgabe eigene Formeln, sondern man muss die Grundformeln entsprechend umstellen und anwenden.
In der Formelsammlung findest du Zinsrechnung z.B. hier:
http://www.formel-sammlung.de/formel-Zinsrechnung-1-2-86.html

Gruß
Stefan
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[irene]

Hallo,Stefan,
danke für deine Hilfe.Von einem Zinsfaktor q und seiner Beziehung zum Zinssatz p hatte ich vorher noch nie etwas gehört.(Danke an meine Mathelehrer!!) Das mit dem Teilen ist mir jetzt klar. Die Formelsamlung zur Zinsrechnung habe ich mir ausgedruckt,kann damit aber nicht wirklich etwas anfangen,weil ich das meiste nicht verstehe. (Habe noch nie mit einer Formelsammlung gearbeitet).
Übrigens: Wie kann man mit einer normalen (deutschen) Tastatur das Mal-Zeichen eingeben? Der Punkt ist zu tief,und andere Möglichkeiten gibt es auf meiner Tastatur nicht.
Gruß Irene

[stefan]

Hallo Irene,

man kann das ja auch ohne den Zinsfaktor machen, wenn man einmal mit dem Zinssatz die Zinsen berechnet und dann das Kapital wieder hinzuzählt.
Hauptsächlich musst du dir die Formel merken, die auf der Seite links oben unter "Jahreszins" steht. Ich weiß ja nicht in welchem Rahmen du das brauchst, für die normale Schul-Mathe.Zinsrechnung in Klasse 8 sind die meisten Formeln unter dem Link tatsächlich viel zu "hoch".
Ich tu' mich immer schwer mit Formeln bei der Zinsrechnung, weil ich mir das normalerweise immer elementar herleite.
Wenn du etwas mit 6% verzinst, dann rechnest du den Geldbetrag eben mal 1,06 (das ist genau dieser Zinsfaktor).
Wenn du ein verzinstes Guthaben hast und den Zins oder das Startkapital ausrechnen sollst, dann teilst du es eben durch 1,06. Das ist das Startkapital. Und die Zinsen sind Startkapital mal 0,06.


Die einfachste und bei Computern übliche Schreibweise ist der Stern *. Übrigens schreibt das Geteiltzeichen auch oft als / (erinnert an einen Bruchstrich). Wenn du einen solchen Punkt · haben willst, braucht es einen Trick. Dazu muss die NumLock-Taste gedrückt werden, so dass die entsprechende Kontrolllampe leuchtet und dann musst mit gedrückter "Alt"-Taste auf dem rechten Nummernblock die Kombination 250 eingeben.

Viele Grüße
Stefan
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[dmoshage]

Hallo,

man kann das Zeichnen auch über Programme->Zubehör->Systemprogramme->Zeichnetabelle holen. Man muss nur darauf achten, dass die Schrift "System" eingestellt ist.

Zeichne auswählen Kopieren und dann mit <Strg>V oder <Shift><Einfg> einfügen.

Test: ·¹¼½¾±

Gruß
Dirk