Mischung, Mischungen, Mischungsverhältnis berechnen

Mischungsrechnen per Andreaskreuz ( Mischungskreuz )



Für dieses Beispiel:
Das 1. Produkt hat eine Konzentration von 80% und das 2. von 5% und gesucht wären 50%
Die beiden Anteile sind die Differenzen der 1. Spalte überkreuzt zu dem Wert 50
Nur diese Werte mit Linien verbunden , das wäre das Andreaskreuz bzw. Mischungskreuz

Eine praktische Aufgabe wäre:
Wir haben 80% igen gewerblichen Essig und möchten auf 5% igen Haushaltsessig verdünnen.
Eingabe für das 1. Produkt = 80
Eingabe für das 2. Produkt = 0 , weil wir mit Wasser mit 0 % Essig-Anteil verdünnen
Eingabe als gesuchter Wert = 5 , weil das Endprodukt 5% haben soll
Eingabe im letzten Feld =720 , weil die Gesamtmenge 720 ml sein sollen.
Vom 80% igen Essig brauchen wir 45 ml ( Werte in der gleichen Zeile ablesen )
Vom Wasser mit 0% Essig-Anteil brauchen wir 675 ml ( 0% und 675 ml sind in der 2. Zeile )
Also: Den Eingaben der 1. Spalte sind die Antworten in der letzten Spalte zugeordnet

Nachfolgend eine Aufgabe in Einzelschritten erklärt:
Ein Supermarkt möchte aus Rinder- und Schweinehack gemischtes Hack zum Verkauf anbieten.
1 kg Rinderhack kostet 4.50 € und das Schweinehack 3.00 €
Das gemischte Hackfleisch soll für 4.00 € angeboten werden.
Die vorhanden Preise von 4.50 und 3.00 € werden in den rotumrandeten Feldern eingetragen.
Die gesuchten 4.00 € tragen wir im blauumrandeten Feld ein.
Wir erhalten folgende Tabelle:

Wir lesen folgende Ergebnisse ab:
Vom Artikel für 4.50 € brauchen wir 666.667 g ( g , wenn die ME g sein sollen )
Vom Artikel für 3.00 € brauchen wit 333.333 g
Die Mengen ergeben sich aus der vorgegebenen Gesamtmenge von 1000.

Nun möchte der Verkäufer eine Gesamtmenge von 21 kg haben.
Dann tragen wir nur noch im letzten Feld die 21 ein , wobei ME jetzt kg bedeuten.
Nun haben sich nur die Mengen geändert , Anteile bzw. Mischungsverhältnis und Preise bleiben gleich.

Der Metzgermeiser hat aber 10 kg Schweinhack , das er ganz verbrauchen möchte.
Und jetzt das Tolle , wir können in der letzten Spalte die 7 mit 10 überschreiben
und sehen sofort , daß wir jetzt 20 kg Rinderhack dazu nehmen müssen.


Wollten wir eine Mischung auf dem Papier rechnen ,
so zeichnen wir uns die beiden überkreuzten Pfeile
in der Form wie ein Andreaskreuz bzw. Mischungskreuz
links an den Pfeilanfängen tragen wir die gegeben Werte ein
in diesem Falle die 8 und die 4
in der Mitte tragen wir den gesuchten Wert von 5 ein
an den Pfeilspitzen die Differenz zum diagonalen Wert
somit erhalten wir das Mischungsverhältnis von 1 : 3
Die Gesamtanteile sind hier 4 ( = Summe der Anteile 1+3 oder auch die Differenz der ersten beiden Werte 8-4)



Anstelle des Mischungskreuzes können wir natürlich mit der Formel rechnen.

Die 2 Komponenten einer Mischung nennen wir K1 und K2 mit den jeweiligen Mengen m1 und m2
dadurch erhalten wir ein neue Komponente: K3 mit der Gesamtmenge von m3
Zur besseren Übersicht das Ganze als Tabelle:

 Komponentenbezeichnung   Mengenbezeichnung 
1. Teil K1 m1
2. Teil K2 m2
 gesamt  K3 m3
Und als Formel geschrieben:
K1 * m1 + K2 * m2 = K3 * m3
kürzer: K1m1 + K2m2 = K3m3 Und wie merken wir uns diese Formel? Das Produkt der 1. Zeile plus das Produkt der 2. Zeile ist gleich das Produkt der letzten Zeile
Nun wird es so sein , daß eine Menge bekannt ist und sich die beiden anderen daraus ergeben.

Es folgen die drei möglichen Beispiele und danach ein Rechenbeispiel Schritt für Schritt erklärt
1. Beispiel:
m1 ist bekannt , dann nehmen wir für m2 die Variable X ; m3 ist dann m1 + X
Zur besseren Übersicht das Ganze als Tabelle:

 Komponentenbezeichnung   Mengenbezeichnung 
1. Teil K1 m1
2. Teil K2 X
 gesamt  K3 m1 + X
Die sich daraus ergebene Formel:
K1m1 + K2X = K3( m1 + X )
Auflösung nach X ( Seitenwechsel = Vorzeichenumkehr )
 K1m1 + K2X     =    K3( m1 + X )   Klammer auflösen 
 K1m1 + K2X     =    K3m1 + K3X    K3X auf die linke Seite nehmen 
 K1m1 + K2X - K3X     =    K3m1   K1m1 auf die rechte Seite nehmen 
 K2X - K3X     =    K3m1 - K1m1    m1 und X ausklammern 
 X( K2 - K3 )     =    m1( K3 - K1 )    ( K2 - K3 ) auf die rechte Seite nehmen 
 X     =    m1( K3 - K1 ) / ( K2 - K3   
m3 = X + m1


2. Beispiel:
m2 ist bekannt , dann nehmen wir für m1 die Variable X ; m3 ist dann m2 + X
Zur besseren Übersicht das Ganze als Tabelle:

 Komponentenbezeichnung   Mengenbezeichnung 
1. Teil K1 X
2. Teil K2 m2
 gesamt  K3 m2 + X
Die sich daraus ergebene Formel:
K1X + K2m2 = K3( m2+ X )
Auflösung nach X ( Seitenwechsel = Vorzeichenumkehr )
 K1X + K2m2    =    K3( m2+ X )   Klammer auflösen 
 K1X + K2m2    =    K3m2 + K3X    K3X auf die linke Seite nehmen 
 K1X + K2m2 - K3X     =    K3m2   K2m2 auf die rechte Seite nehmen 
 K1X - K3X     =    K3m2 - K2m2    m2 und X ausklammern 
 X( K1 - K3 )     =    m2( K3 - K2 )    ( K1 - K3 ) auf die rechte Seite nehmen 
 X     =    m2( K3 - K2 ) / ( K1 - K3   
m3 = X + m2

3. Beispiel:
m3 ist bekannt , dann nehmen wir für m1 die Variable X ; m2 ist dann m3 - X
Zur besseren Übersicht das Ganze als Tabelle:

 Komponentenbezeichnung   Mengenbezeichnung 
1. Teil K1 X
2. Teil K2 m3 - X
 gesamt  K3 m3
Die sich daraus ergebene Formel:
K1X + K2( m3 - X ) = K3m3
Auflösung nach X ( Seitenwechsel = Vorzeichenumkehr )
 K1X + K2( m3 - X )     =    K3m3   Klammer auflösen 
 K1X + K2m3 - K2X     =    K3m3   K2m3 auf die rechte Seite nehmen 
 K1X - K2X     =    K3m3 - K2m3   m3 und X ausklammern 
 X( K1 - K2 )     =    m3( K3 - K2  ( K1 - K2 ) auf die rechte Seite nehmen 
 X     =    m3( K3 - K2 ) / ( K1 - K2   
m2 = m3 - X


Einige Schüler werden sich fragen: " Müssen wir mit all diesen Buchstaben rechnen ? "
Antwort: Wir werden nur mit einem 'X' rechnen , wobei wir in der Tabelle gleich die Variablen eintragen.
Zur Erinnerung erst mal unser Tablett:

 Komponentenbezeichnung   Mengenbezeichnung 
1. Teil K1 m1
2. Teil K2 m2
 gesamt  K3 m3
Und hier eine Aufgabenstellung :
20 kg Kaffee zu 6,25 € / kg soll mit anderem Kaffee gemischt werden , ( das ist unsere "1. Komponente" )
daß wir 70 kg zu einem Kilopreis von 7,50 € erhalten. ( das ist "gesamt" )
Diese Angaben tragen wir schon ein und sieht wie folgt aus:

 Preise in €    Menge in kg 
1. Teil 6,25 20
2. Teil K2 m2
 gesamt  7,50 70
Die gesuchte Menge ist jetzt 70 kg minus 20 kg = 50 kg. Also eintragen:

 Preise in €    Menge in kg 
1. Teil 6,25 20
2. Teil K2 50
 gesamt  7,50 70
Da K2gesucht ist , tragen wir dafür X ein :

 Preise in €    Menge in kg 
1. Teil 6,25 20
2. Teil X 50
 gesamt  7,50 70
Wir haben jetzt nur noch eine Unbekannte , das heißt , wir können rechnen.

Und jetzt unsere leicht zu merkende Formel: Das Produkt der 1. Zeile plus das Produkt der 2. Zeile ist gleich das Produkt der letzten Zeile Also schreiben wir in die 1. Zeile und rechnen weiter:
 6,25 * 20 + 50X   =   7,50 * 70 
 125 + 50X   =   525 
 50X   =   525 - 125 
 50X   =   400 
 X   =   8 
Damit haben wir die Antwort: der zufügende Kaffee muß 8,00 € kosten ( Diese Menge ist 50 kg )

Ich empfehle , die 8 in die Tabelle einzutragen , wie nachfolgend dargestellt. ( praktisch als Antworttablett )

 Preise in €    Menge in kg 
1. Teil 6,25 20
2. Teil 8,00 50
 gesamt  7,50 70
Das sieht jetzt schön und erledigt aus.
Wollen wir doch prüfen , ob die Zahlen alle zueinander passen ( sprich : eine Rechenprobe durchführen )
Und das prüfen wir mit unserer leicht zu merkenden Formel: Das Produkt der 1. Zeile plus das Produkt der 2. Zeile ist gleich das Produkt der letzten Zeile
 6,25 * 20 + 50 * 8   =   7,50 * 70 
 125 + 400   =   525 
 525   =   525 
Linke Seite = rechte Seite
das heißt: es ist richtig gerechnet !


Diese Formel wurden uns von Heinz Becker zu Verfügung gestellt. Vielen Dank !!
http://www.hbnweb.de