Lösungsverfahren
Determinantenverfahren Lineare (n; n)-Gleichungssysteme können mithilfe des Determinantenverfahrens gelöst werden. Dabei werden folgende Determinanten betrachtet:

| A | ist die Koeffizientendeterminante; | | ergibt sich, wenn in | A | die i-te Spalte durch den Konstantenvektor ersetzt wird.

Ist die Koeffizientendeterminante nicht null, erhält man eine Lösung:
(cramersche Regel)
Lösbarkeitskriterien Homogenes Gleichungssystem:
eindeutig lösbar (Nullvektor als triviale Lösung)
unendlich viele Lösungen

Inhomogenes Gleichungssystem:
eindeutig lösbar (cramersche Regel)
und | | = 0 für alle i unendlich viele Lösungen
und nicht alle | | gleich null keine Lösung
gaußsches Eliminierungsverfahren Das gegeben lineare Gleichungssystem wird durch äquivalente Umformungen (bzw. Umformen der Koeffizientenmatrix A in eine obere Dreiecksmatrix) in Staffel- bzw. Dreiecksform gebracht. Im Fall m = n hat diese die folgende Gestalt:

Hieraus ergibt sich als erste Lösung , und durch rückwärtiges Einsetzen können sukzessive die Werte der variablen berechnet werden.
Lösbarkeitskriterien
Homogenes Gleichungssystem:
Rang A = n eindeutig lösbar (Nullvektor als triviale Lösung)
Rang A < n unendlich viele Lösungen

Inhomogenes Gleichungssystem:
Rang A = Rang S = n eindeutig lösbar
Rang A = Rang S < n unendlich viele Lösungen
Rang A < Rang S keine Lösung