Grundbegriffe und Schreibweise
Begriff des linearen Gleichungssystems Ein System aus m linearen Gleichungen mit n Variablen wird lineares Gleichungssystem genannt.

Jedes derartige Gleichungssystem lässt sich in folgender Form darstellen:
homogenes System Ein lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen mit n Variablen (kurz: lineares (m; n)-Gleichungssystem), bei dem alle Konstanten (Absolutglieder) den Wert 0 haben, heißt homogen.
inhomogenes System Sind nicht alle Absolutglieder gleich null, so wird das System inhomogen genannt.
Äquivalenzumformungen Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems bleibt bei folgenden Umformungen unverändert:
(1) Vertauschung von Gleichungen
(2) Multiplizieren einer Gleichung mit einer von null verschiedenen (reellen) Zahl
(3) Addieren (des Vielfachen) einer Gleichung zu (dem Vielfachen) einer anderen
Matrixschreibweise Unter Verwendung von Matrizen ergibt sich als weitere Schreibweise die folgende:

Die Matrix heißt Koeffizientenmatrix des linearen (m; n)-Gleichungssystems, die Matrix wird erweiterte Koeffizientenmatrix bzw. Systemmatrix genannt.
Vektorschreibweise
Ein lineares (m; n)-Gleichungssystem kann mithilfe von (Spalten-) Vektoren folgendermaßen dargestellt werden:
i-ter Spaltenvektor
Konstantenvektor